Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Reglas de Simpson

Definición

Regla de Simpson 1/3

Resulta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en una ecuación de aproximación con integral: $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\cong \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_2(x)dx$

$I=\underset{x_0}{\overset{x_2}{\int }}\left[\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)-\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)\right]dx$

Después de la integración y manejo algebraico, resulta:

$I\simeq \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]$

Donde

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle h = {(b – a) \over 2} }

Regla de Simpson 3/8

Resulta cuando una interpolación polinomial de tercer orden es sustituida en la ecuación de aproximación:

Error al representar (función desconocida «\con»): {\displaystyle I = \int_a^b {f(x)dx} \con \int_a^b {f_3 (x)dx}}

Para obtener:

$I\simeq \frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)]$