Álgebra/Análisis numérico/Integración y Diferenciación Numérica/Regla del trapecio

Definición

Es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton–Cotes.

Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación de integración es de primer orden:

Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(a) y f(b).

La integral se representa como:

I ≈ ancho x altura promedio

Ecuación

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]dx=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho $\mathrm{\Delta }x=(b-a)/n$.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\sim \frac{h}{2}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]$

Donde $h=\frac{b-a}{n}$ y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\sim \frac{b-a}{n}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})]$

El error en esta aproximación se corresponde con :

$-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{(2)}(\xi )$

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}3xdx$

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: $h=\frac{b-a}{n}$ $=\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6}$.

Y ahora se sustituye en la fórmula

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ = $\frac{h}{2}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]$

y queda:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}3xdx$ = $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}[3(1)+2[3(1+1\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+2\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+3\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+4\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+5\cdot \frac{1}{6})]+3(2)]=4.5$

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.