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'''1. Describir el dominio para cada una de las siguientes funciones de variable compleja.'''
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a) <math>f(z)=\frac{1}{z^2+1}</math>

Analizando la función, observamos que esta se indefine cuando el denominador es igual a cero, es decir cuando

:<math>z=\pm i</math>

Por lo tanto ''f(z)'' está definida para todo el plano, excepto <math>\pm i</math>
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b) <math>f(z)=Arg(\frac{1}{z})</math>

Esta función ''f(z)'' se indefine cuando 

:<math>z=0</math>

Entonces su dominio es todo el plano complejo excepto  <math>z=0</math>
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c) <math>f(z)=\frac{1}{1+|z^2|}</math>

De igual forma que en el a) esta función se indefine cuando el denominador es igual a cero, en este caso cuando

:<math>|z^2|={1}</math>

Con esto,  se tiene que el dominio de esta función es

:<math>\mathcal{D}={(x+iy)\forall x^2+y^2\ne1}</math>
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'''2. Exprese la función <math> f(z)=z^3+z+1 </math> en la forma <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>.'''
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Sea <math>z=x+iy</math>, entonces

:<math>f(z)=(x+iy)^3+(x+iy)+1</math>

Desarrollando ''f(z)''

:<math>f(z)=x^3-3xy^2+x+1+i(3x^2y+y^3+y)</math>

donde

:<math>u(x,y)=x^3-3xy^2+x+1</math>
:<math>v(x,y)=3x^2y-y^3+y</math>
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'''3. Sea <math> f(z)=x^2-y^2-2y+i(2x-2xy) </math> donde <math>z=x+iy</math>. Expresar f(z) en términos de z.'''

De la teoría de los números complejos sabemos que 
:<math> x=\frac{z+\bar{z}}{2} </math>
:<math> y=\frac{z-\bar{z}}{2} </math>
Sustituyendo estas últimas expresiones en ''f(z)''. Tenemos

:<math> f(z)=(\frac{z+\bar{z}}{2})^2-(\frac{z-\bar{z}}{2})^2+i(\frac{z-\bar{z}}{2})^2+i(z+\bar{z})-\frac{1}{2}(z+\bar{z})(z-\bar{z})  </math>

Haciendo álgebra, ''f(z)'' queda expresada como

:<math> f(z)=\bar{z}^2+2iz </math>
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'''4. Escribir la función <math> f(z)= z+\frac{1}{z}</math> con <math>z\ne0</math> en la forma <math>f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)</math>. Expresar f(z) en términos de z.'''

Definiendo <math> z=re^{i\theta}</math> y sustituyendo en ''f(z)''

:<math> f(z)=re^{i\theta}+\frac{1}{re^{i\theta}} </math>

Reescribiendo esta última expresión de ''f(z)'' en términos de senos y cosenos y agrupando parte real y parte imaginaria.

:<math>f(z)=(r+\frac{1}{r})cos{\theta}+i(r+\frac{1}{r})sen{\theta}</math>

donde

:<math>u(x,y)=(r+\frac{1}{r})cos{\theta}</math>
:<math>v(x,y)=(r+\frac{1}{r})sen{\theta}</math>