Ver el código de «Mecánica cuántica/Funciones de onda»

Hasta ahora hemos estudiado observables con espectro discreto (por ejemplo, de <math>S_z</math>)

Ahora estudiaremos espectros discretos, por lo que vamos a necesitar espacios de Hilbert de dimensión infinita.

<math>\to</math> Los resultados obtenidos para <math>\mathbb H</math> de dimensión finita son fácilmente generalizables a este otro caso.

<math>\{|a\rangle \}\, \text{base ortonormal} </math> 

<math>A|a\rangle =a|a\rangle </math>

<math>a</math> toma valores de un conjunto discreto.

<math>\langle a|a'\rangle =\delta_{aa'}</math>

Frente a espectro continuo

<math>\{|x\rangle \}\ \text{base ortonormal} </math>

<math>X|x\rangle =x|x\rangle </math>

donde <math>x</math> toma un conjunto continuo de valores.

Ahora usamos la delta de Dirac en lugar de la delta de Kronecker.

<math>\text{Delta de Kronecker }:\quad \delta_{aa'} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left\{ \begin{matrix}1&si&a=a'\\0&si&a\neq a'\end{matrix}\right.</math>

<math>\text{Delta de Dirac }:\quad \delta(x-x') \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left\{ \begin{matrix}\infty&si&x=x'\\0&si&x\neq x'\end{matrix}\right.</math>

<math>\delta(x)</math> no es una función, es una distribución (asigna un número complejo a cada función)

<math>\int_{-\infty}^\infty dx \delta(x) f(x) =f(0)</math>

<math>\int_{-\infty}^\infty dx \delta(x-x_0) f(x)=f(x_0)</math>

<math>\text{Si } f(x)=1, \Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} dx f(x)\delta(x)=\int_{-\infty}^{\infty} dx \,1\,\delta(x)\equiv \int_{-\infty}^{\infty} dx \delta(x) =1</math>

Puede obtenerse como el límite de una función.

<math>\delta(x)=\lim_{L \to \infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^{L}dk\, e^{ikx}</math>

La ortonormalidad en el espacio de Hilbert de dimensión infinita se expresa en términos de esta distribución.

En un espacio de dimensión finita, si <math>\{|a\rangle \}</math> es una base, obtenemos la relación de clausura

<math>\sum_a |a\rangle \langle a| = \mathcal I.</math>

Y se tiene que

<math>|\alpha\rangle =\mathcal I |\alpha\rangle =\left(\sum_a |a\rangle \langle a|\right)|\alpha\rangle =
\sum_a |a\rangle \left(\langle a|\alpha\rangle\right) =\sum_a|a\rangle \alpha_a.</math>

Usando el resultado anterior tenemos que

<math>\langle \alpha|\alpha\rangle =\langle \alpha|\left(\sum_a|a\rangle \langle a|\alpha\rangle\right) =
\sum_a \langle \alpha|a\rangle \langle a|\alpha\rangle = \sum_a |\alpha_a|^2</math>

<math>p_a=||P_a|\alpha\rangle ||^2=|| \left(|a\rangle \langle a| \alpha\rangle\right)||^2=  ||(|a \rangle )||^2\cdot|\langle a| \alpha\rangle |^2 =|\langle a| \alpha\rangle |^2.</math>

En contraste, cuando el espacio de Hilbert tiene dimensión infinta,

<math>\{|x\rangle \}\ \text{ base ortonormal},</math>

<math>\int dx |x\rangle \langle x| =\mathcal I</math>

<math>|\alpha\rangle =\mathcal I |\alpha\rangle\int_{-\infty}^{\infty} dx|x\rangle \underbrace{\langle x|\alpha\rangle }_{\equiv \alpha(x)}</math>

<math>=\int_{-\infty}^\infty dx\, |x\rangle\,  \alpha(x)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, \alpha(x)\, |x\rangle</math>

A <math>\alpha(x)</math> es mejor llamarlo '''función de onda''' porque no es un vector, pues se define mediante un producto escalar: Es una función de la variable continua ''x''. Es por ello que puede pasar a la izquierda o a la derecha de un vector sin problemas, como ocurre también con los escalares.

<math>\begin{align}
\langle \alpha|\alpha\rangle &=\langle \alpha|\int_{-\infty}^\infty dx |x\rangle \langle x|\alpha\rangle\\
   & =\int_{-\infty}^\infty dx \langle \alpha|x\rangle \langle x|\alpha\rangle \\
   & =\int_{-\infty}^\infty  \alpha^*(x) \alpha(x)\\
   & = \int_{-\infty}^\infty dx |\alpha(x)|^2
\end{align}</math>

*Probabilidad de medir <math>X</math> y obtener un valor <math>x</math> entre <math>x_1</math> y <math>x_2</math> (no tiene sentido establecer la posibilidad de que esté en un punto)

<math>P_{x_1,x_2}=\int_{x1}^{x_2} dx |x\rangle \langle x|</math>

(Es como un proyector)

Demostrad vosotros que

<math>P_{x_1,x_2}=\int_{x1}^{x_2} dx |\alpha(x)|^2</math>

"braket"

<math>\langle \alpha|\beta\rangle =\sum_a \langle \alpha|a\rangle \langle a|\beta\rangle =\sum_a \alpha_a^* \beta_b= 
 \begin{pmatrix} \alpha_1^*& \alpha_2^*& \cdots\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2\\ \vdots\end{pmatrix}</math>

<math>\langle \alpha|\beta\rangle =\int dx\, \langle \alpha|x\rangle \langle x|\beta\rangle  =\int\, dx \alpha^*(x)\beta(x):</math>

<math>\rightarrow</math> Solapamiento de las dos funciones de onda

<math>|\alpha\rangle </math> y <math>\beta\rangle </math> son ortogonales si sus funciones de onda no se solapan.

Aún nos queda por generalizar el ''bocadillo'' (la matriz o braket). En el caso discreto:

<math>\{|a\rangle \}</math>

<math>A|a\rangle =a|a\rangle</math>

<math>\begin{align}
\langle \alpha|A|\beta\rangle&= \langle \alpha|A|\left(\sum_a |a\rangle\langle a|\right)\beta\rangle\\
   &= \sum_a \langle \alpha|\underbrace{A|a\rangle }_{a|a\rangle }\underbrace{\langle a|\beta\rangle }_{\beta_a}\\
   &=\sum_a a \alpha_a^* \beta_a\\
\langle \alpha|A|\beta\rangle
   &=\begin{pmatrix} \alpha_1^*& \alpha_2^*& \cdots\end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}a_1& & &\\ &a_2& \\ & & \ddots  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2\\ \vdots\end{pmatrix}
\end{align}</math>

En el caso continuo:

<math>\{|x\rangle \}</math>

<math>X|x\rangle=x|x\rangle </math>

<math>\begin{align}
\langle \alpha|X|\beta\rangle
  &= \langle \alpha|X|\left(\int_{-\infty}^\infty dx\, |x\rangle\langle x|\right) |\beta\rangle\\
  &= \int_{-\infty}^\infty dx\, \langle \alpha| X|x\rangle \langle x|\beta\rangle\\
  &=\int_{-\infty}^{\infty} dx \, x \langle \alpha|x\rangle x  \beta(x)\\
  &=\int_{-\infty}^{\infty} dx \, x \alpha^*(x) \beta(x)
\end{align}</math>

Con el mismo procedimiento se puede obtener el resultado para un operador <math>F(X)</math>, definido a través del operador <math>X</math>, si se tiene en cuenta que <math>F(X)|x\rangle=F(x)|x\rangle</math>.

<math>\begin{align}
\langle \alpha|F(X)|\beta\rangle
  &=\langle \alpha|F(X) \left(\int_{-\infty}^\infty dx\, |x\rangle\langle x|\right) |\beta\rangle\\
  &=\int_{-\infty}^\infty dx\, \langle \alpha| F(X)|x\rangle \langle x|\beta\rangle\\
  &=\int_{-\infty}^{\infty} dx \, F(x) \langle \alpha|x\rangle \beta(x)\\
  &=\int_{-\infty}^{\infty} dx \, F(x) \alpha^*(x) \beta(x)
\end{align}</math>