Mecánica cuántica/Funciones de onda

Hasta ahora hemos estudiado observables con espectro discreto (por ejemplo, de $S_z$)

Ahora estudiaremos espectros discretos, por lo que vamos a necesitar espacios de Hilbert de dimensión infinita.

$\to$ Los resultados obtenidos para $ℍ$ de dimensión finita son fácilmente generalizables a este otro caso.

$\{|a⟩\}\text{base ortonormal}$

$A|a⟩=a|a⟩$

$a$ toma valores de un conjunto discreto.

$⟨a|a^{\prime }⟩={\delta }_{a{a}^{\prime }}$

Frente a espectro continuo

$\{|x⟩\}\text{base ortonormal}$

$X|x⟩=x|x⟩$

donde $x$ toma un conjunto continuo de valores.

Ahora usamos la delta de Dirac en lugar de la delta de Kronecker.

$\text{Delta de Kronecker }:{\delta }_{a{a}^{\prime }}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\begin{array}{ccc}1& si& a=a^{\prime }\\ 0& si& a\ne a^{\prime }\end{array}$

$\text{Delta de Dirac }:\delta (x-x^{\prime })\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\{\begin{array}{ccc}\mathrm{\infty }& si& x=x^{\prime }\\ 0& si& x\ne x^{\prime }\end{array}$

$\delta (x)$ no es una función, es una distribución (asigna un número complejo a cada función)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\delta (x)f(x)=f(0)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\delta (x-x_0)f(x)=f(x_0)$

$\text{Si }f(x)=1,\Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dxf(x)\delta (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx1\delta (x)\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\delta (x)=1$

Puede obtenerse como el límite de una función.

$\delta (x)=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{-L}{\overset{L}{\int }}dk{e}^{ikx}$

La ortonormalidad en el espacio de Hilbert de dimensión infinita se expresa en términos de esta distribución.

En un espacio de dimensión finita, si $\{|a⟩\}$ es una base, obtenemos la relación de clausura

$\sum _a|a⟩⟨a|=ℐ.$

Y se tiene que

$|\alpha ⟩=ℐ|\alpha ⟩=(\sum _a|a⟩⟨a|)|\alpha ⟩=\sum _a|a⟩(⟨a|\alpha ⟩)=\sum _a|a⟩{\alpha }_a.$

Usando el resultado anterior tenemos que

$⟨\alpha |\alpha ⟩=⟨\alpha |(\sum _a|a⟩⟨a|\alpha ⟩)=\sum _a⟨\alpha |a⟩⟨a|\alpha ⟩=\sum _a|{\alpha }_a{|}^2$

$p_a=||P_a|\alpha ⟩|{|}^2=||(|a⟩⟨a|\alpha ⟩)|{|}^2=||(|a⟩)|{|}^2\cdot |⟨a|\alpha ⟩{|}^2=|⟨a|\alpha ⟩{|}^2.$

En contraste, cuando el espacio de Hilbert tiene dimensión infinta,

$\{|x⟩\}\text{ base ortonormal},$

$\int dx|x⟩⟨x|=ℐ$

$|\alpha ⟩=ℐ|\alpha ⟩\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩\underset{\equiv \alpha (x)}{\underbrace{⟨x|\alpha ⟩}}$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩\alpha (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\alpha (x)|x⟩$

A $\alpha (x)$ es mejor llamarlo función de onda porque no es un vector, pues se define mediante un producto escalar: Es una función de la variable continua x. Es por ello que puede pasar a la izquierda o a la derecha de un vector sin problemas, como ocurre también con los escalares.

$\begin{array}{cc}⟨\alpha |\alpha ⟩& =⟨\alpha |\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩⟨x|\alpha ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx⟨\alpha |x⟩⟨x|\alpha ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\alpha }^{*}(x)\alpha (x)\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|\alpha (x){|}^2\end{array}$

• Probabilidad de medir $X$ y obtener un valor $x$ entre $x_1$ y $x_2$ (no tiene sentido establecer la posibilidad de que esté en un punto)

$P_{x_1,x_2}=\underset{x1}{\overset{x_2}{\int }}dx|x⟩⟨x|$

(Es como un proyector)

Demostrad vosotros que

$P_{x_1,x_2}=\underset{x1}{\overset{x_2}{\int }}dx|\alpha (x){|}^2$

"braket"

$⟨\alpha |\beta ⟩=\sum _a⟨\alpha |a⟩⟨a|\beta ⟩=\sum _a{\alpha }_a^{*}{\beta }_b=\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^{*}& {\alpha }_2^{*}& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\end{array}\right)$

$⟨\alpha |\beta ⟩=\int dx⟨\alpha |x⟩⟨x|\beta ⟩=\int dx{\alpha }^{*}(x)\beta (x):$

$\to$ Solapamiento de las dos funciones de onda

$|\alpha ⟩$ y $\beta ⟩$ son ortogonales si sus funciones de onda no se solapan.

Aún nos queda por generalizar el bocadillo (la matriz o braket). En el caso discreto:

$\{|a⟩\}$

$A|a⟩=a|a⟩$

$\begin{array}{cc}⟨\alpha |A|\beta ⟩& =⟨\alpha |A|(\sum _a|a⟩⟨a|)\beta ⟩\\ & =\sum _a⟨\alpha |\underset{a|a⟩}{\underbrace{A|a⟩}}\underset{{\beta }_a}{\underbrace{⟨a|\beta ⟩}}\\ & =\sum _{a}a{\alpha }_a^{*}{\beta }_a\\ ⟨\alpha |A|\beta ⟩& =\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^{*}& {\alpha }_2^{*}& \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & \\ & a_2& \\ & & \ddots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\end{array}\right)\end{array}$

En el caso continuo:

$\{|x⟩\}$

$X|x⟩=x|x⟩$

$\begin{array}{cc}⟨\alpha |X|\beta ⟩& =⟨\alpha |X|(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩⟨x|)|\beta ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx⟨\alpha |X|x⟩⟨x|\beta ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dxx⟨\alpha |x⟩x\beta (x)\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dxx{\alpha }^{*}(x)\beta (x)\end{array}$

Con el mismo procedimiento se puede obtener el resultado para un operador $F(X)$, definido a través del operador $X$, si se tiene en cuenta que $F(X)|x⟩=F(x)|x⟩$.

$\begin{array}{cc}⟨\alpha |F(X)|\beta ⟩& =⟨\alpha |F(X)(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩⟨x|)|\beta ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx⟨\alpha |F(X)|x⟩⟨x|\beta ⟩\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dxF(x)⟨\alpha |x⟩\beta (x)\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dxF(x){\alpha }^{*}(x)\beta (x)\end{array}$