Ver el código de «Mecánica cuántica/Densidad y corriente de probabilidad»

Se define la '''densidad de probabilidad''' <math>\rho(\vec x,t)</math> asociada a <math>|\Psi\rangle </math> como

<math>\rho(\vec x,t)=\langle \Psi(t)|\vec x\rangle \langle \vec x|\Psi(t)\rangle =|\Psi(\vec x,t)|^2</math>

<math>P_v=\int_V dV \rho=\int_V dV \underbrace{|\Psi(\vec x,t)|^2}_{densidad\ de\ probabilidad}</math>

<math>\Psi(\vec x)</math> es la '''densidad de amplitud de probabilidad'''

<math>M=\int_V dV \rho</math>

¿Cómo cambia <math>\Psi(\vec x,t)</math> con el tiempo?

Ecuación de Schrödinguer:

{{Caja|<math>i\hbar\frac{d }{dt}|\Psi\rangle=H|\Psi\rangle </math>}}

<math>i\hbar \frac{d\Psi(x,t)}{dt}=H\Psi(x,t)</math>

<math>H_{clas}=\frac{p^2}{2m}+V(x)</math>

<math>p\doteq-i\hbar\frac{d}{dx}\quad (\text{En 3-D: }\vec p \doteq i\hbar\nabla)</math>

<math>p^2\doteq-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}\quad (\text{En 3-D: }p^2 \doteq -\hbar^2\nabla^2)</math>

<math>H\doteq-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)</math>

<math>i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=H\Psi(x,t)</math>

Ecuación de Schrödinguer

{{Caja|<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=-i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\Psi(x,t)\quad \text{1-D}</math>}}

{{Caja|<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi+V(\vec x)\Psi(\vec x,t)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec x,t)\quad \text{3-D}</math>}}

Si V no depende de t (sistema estacionario), los autovalores del Hamiltoniano son las energías accesibles al sistema

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi_E(\vec x,t)+V(\vec x)\Psi(\vec x,t)=E\Psi(\vec x,t)</math>

<math>\langle \vec x|H|\Psi_E\rangle =\langle \vec x|E|\Psi_E\rangle </math>

Si integramos la ecuación de <math>S</math> en esta representación

<math>\Psi(\vec x,t)=\Psi_E(\vec x) e^{-\frac{i}{\hbar}E(t-t_0)}</math>

<math>\rho_E(\vec x,t)=\Psi^*_E\Psi_E=|\Psi_E(\vec x)|^2</math>

<math>\Longrightarrow</math> La densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

<math>\to</math> Estacionario no significa que esté parado, pero sí que su probabilidad de encontrarlo en cualquier posición es fija.

<math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi</math>

<math>\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}H\Psi</math>

<math>\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\left(H\Psi\right)^*</math>

<math>\rho(\vec x,t)=\Psi^* \Psi</math>

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial t}\overbrace{=}-\frac{i}{\hbar}\left[\Psi^*H\Psi-(H\Psi)^*\Psi \right]</math>

<math>-\frac{i}{\hbar}\left(-\hbar^2\Psi^*\frac{\nabla^2\Psi}{2m}+\Psi^*V\Psi+\hbar^2\Psi\frac{\nabla^2\Psi^*}{2m}-\Psi V^*\Psi^*\right)=</math>

<math>\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^*\nabla^2\Psi-\Psi\nabla^2\Psi^*\right)</math>

<math>=\nabla\left[\underbrace{i\frac{\hbar}{2m}\left(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*\right)}_{\text{Esto será el vector } -\vec J}\right]</math>

<math>\vec J=-\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*\right)</math>

Densidad de corriente de probabilidad.

Notemos:

<math>\vec J=-\frac{i\hbar}{2m}(A-A^*)=\frac{2i\hbar}{2m}\Im{A}</math>

<math>\vec J=\frac{\hbar}{m}\Im{\left( \Psi^*\nabla\Psi\right)}</math>

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \vec J</math>

<math>\frac{\partial \rho(\vec x,t)}{\partial t}+\nabla\cdot \vec J(\vec x, t)=0</math>

Integrando esto (para entender más cosas)

<math>V \in \mathbb R^3: \int_V dV \frac{\partial \rho}{\partial t}+\int dV \nabla\cdot\vec J=0</math>

<math>\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\int_V dV \rho}_{\text{Probabilidad de encontrar la parícula en el volúmen}} + \oint_{V}\, d\vec S \cdot \vec J=0</math>

Esto dice: "Lo que varía la probabilidad en V es la cantidad de probabilidad que se ha escapado"

En el infinito

<math>\Psi \to 0 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}\int_{V\to 0} dV \rho=0 \Rightarrow \int dV \rho=cte=1</math>

"Las desintegraciones o colisiones inelásticas no las resuelve bien la MC; es necesario Teoría Cuántica de Campos o potenciales complejos."

¿Cuánto valdrá <math>\int_{\mathbb R^3} dx \vec J</math>

<math>\langle \vec P\rangle _\Psi=\langle \Psi|\vec P|\Psi\rangle =\int_{\mathbb R^3} d^3x \Psi^*(-i\hbar)\nabla \Psi=\int d^3x i \hbar (\nabla \Psi^*)\Psi</math>

<math>\int_{\mathbb R^3} dx \vec J =\frac{\langle P\rangle _\Psi}{m}=\langle \vec v\rangle _\Psi</math>

Si el estado es propio de <math>H</math>: <math>\Psi_E(\vec x,t)=\Psi_E(\vec x)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t-t_0)}</math>\\

<math>\rho=|\Psi_E(\vec x,t)|^2=|\Psi_E(\vec x)|^2=cte</math>

<math>\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\Rightarrow \nabla \cdot \vec J=0</math>

<math>\langle \vec v\rangle _{\Psi_E}=0</math>

Estados estacionarios

<math>\to</math> Conocidas las funciones de onda <math>\Psi_E(\vec x)</math> puede obtenerse la evolución de una función de onda arbitraria <math>\Psi(\vec x)</math>.

<math>|\Psi(t_2)\rangle =e^{-\frac{i}{\hbar}H(t_2-t_1)}|\Psi(t_1)\rangle =\sum_E |\Psi_E\rangle \langle \Psi_E|\Psi(t_1)\rangle e^{\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}</math>

<math>\Rightarrow \Psi(\vec x,t_2)=\int d^3x_1 \sum_E \Psi_E(\vec x)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}\Psi(\vec x_1,t_1)</math>

A partir de los autoestados podemos conocer la evolución temporal.

==Teorema de Ehrenfest==
Vamos a tratar de demostrarlo razonando.

Límite de la mecánica clásica:

Diferencia fundamental entre la Mecánica Cuántica y la Mecánica clásica:

<math>\vec x</math> y <math>\vec p</math> tienen incertidumbre en una partícula simultáneamente.

<math>\left.\begin{matrix}\langle \vec X\rangle _\Psi,\ \langle \vec P\rangle _\Psi\\ \Delta_\Psi \vec X, \Delta_\Psi \vec P\end{matrix}\right\} \text{Esto sería clásica si: } \hbar \to 0</math>

Supongamos:

<math>H_{cl}=\frac{P^2}{2m}+V(\vec x) \Rightarrow \frac{dx_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}=\frac{p_i}{m}</math>

<math>\frac{\partial p_i}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x_i}=(?)-\frac{\partial V}{\partial x_i}=F_i</math>

<math>\frac{d\langle A\rangle _\Psi}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle _\Psi</math>

<math>\frac{d}{dt}\langle x_i\rangle _\Psi=\frac{1}{i\hbar}\langle [X_i,H]\rangle _\Psi;\ H=\frac{p^2}{2m}+V(\vec X)</math>

<math>[X_i,P^2]=[X_i,P_i]=X_iP_iP_i-P_iP_iX_i=\overbrace{[X_i,P_i]}^{i\hbar}P_i +P_i\overbrace{[X_i,P_i]}^{i\hbar}=2i\hbar P_i</math>

<math>\frac{d}{dt}\langle x_i\rangle _\Psi=\frac{2i\hbar}{i \hbar}\langle \frac{P_i}{2m}\rangle _\Psi=\langle \frac{P_i}{m}\rangle _\Psi=\langle v_i\rangle _\Psi</math>

Y la segunda ecuación:

<math>\frac{d}{dt}\langle P_i\rangle _\Psi=\frac{1}{i\hbar}\langle [P_i,H]\rangle _\Psi=</math>

<math>-\frac{i\hbar}{i\hbar}\langle \nabla V(\vec x)\rangle _\Psi=\langle \vec F\rangle _\Psi</math>

<math>[\vec P,V(\vec x)]=\vec P V(\vec x)-V(\vec x)\vec P=(-i\hbar\nabla)V(\vec x)-V(\vec x)(-i\hbar\nabla)\underbrace{=}_{repr.\ de\ pos.}-i\hbar(\nabla V(\vec x))</math>

Teorema de Ehrenfest

<math>\frac{d\langle \vec x\rangle _\Psi}{dt}=\frac{\langle \vec P\rangle _\Psi}{m}</math>

<math>\frac{d\langle \vec P\rangle _\Psi}{dt}=-\langle \nabla V(\vec X)\rangle _\Psi=\langle \vec F\rangle _\Psi</math>
<math>=\langle \vec F\rangle _\Psi = m\frac{d^2\langle \vec X\rangle _\Psi}{dt^2}</math>

El dentro del paquete de ondas se mueve como una partícula clásica sometida a la fuerza promedio (esto se parece a las leyes de Newton).

=El propagador=
La evolución temporal de la función de onda puede describirse usando el '''propagador'''

<math>\Psi(\vec x_2,t_2)=\underbrace{\int d^3x_1 \overbrace{K(\vec x_2,t_2;\vec x_1,t_1)}^{propagador}}_{operador integral}\Psi(\vec x_1,t)</math>

El propagador es el ''kernel'' del operador.

¿Cuál es su significado físico?

Supongamos una partícula localizada en <math>\vec x_1=\vec x_i</math> a las <math>t_1</math>

<math>|\vec x_i t\rangle ngrightarrow \Psi(\vec x_i, t)=\delta(\vec x_1 -\vec x_i)</math>

<math>\Psi(\vec x_2,t_2)=\int d^3x_1 K(\vec x_2, t_2;\vec x_1,t_1)\cdot \delta^3(\vec x_1 -\vec x_i)= K(\vec x_2, t_2;\vec x_1,t_1)</math>

Nos da la densidad de amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula que originalmente estaba en <math>\vec x_1</math> en <math>t_1</math> en <math>\vec x_2</math> a las <math>t_2</math>.

<math>K(\vec x_2,t_2;\vec x_1,t_1)=\langle \vec x_2\ t_2|\vec x_1\ t_1\rangle =\langle \vec x_2|U(t_2,t_1)\underbrace{|}_{\mathcal I =\sum_E |\Psi_E\rangle \langle \Psi_E|}\vec x_1\rangle </math>

Diagonalizo el Hamiltoniano y en esa base escribo el operador de clausura. y lo introducimos arriba.

<math>=\sum_E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}</math>

<math>\to</math> Conocidos los autoestados del hamiltoniano <math>H</math> (lo cual solo es posible en determinados casos muy concretos) puede deducirse el propagador.

<math>\to</math> Estaremos interesados en el caso <math>t_2 \rangle t_1</math>. Se define el '''propagador retardado'''

<math>K(\vec x_2,t_2; \vec x_1, t_1)=\langle \vec x_2|U(t_2,t_1)|\vec x_1\rangle  \theta (t_2-t_1)</math>

donde la función es

<math>\theta(t_2-t_1)=\left\{\begin{matrix} 1 & si& t_2\rangle t_1\\ 0 &si& t_2< t_1\end{matrix}\right..</math>

''Poner un dibujo que se vea que es como una función escalón.''

El factor <math>\theta(t_2-t_1)</math> hace que el propagador rectificado satisfaga la si\-guien\-te ecuación diferencial

<math>\frac{\theta(t_2-t_1)}{dt_2}=\delta(t_2-t_1)</math>

<math>K(\vec x_2,t_2;\vec x_1,t_1)=\theta(t_2-t_1)\sum_E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}</math>

<math>\left(H-i\hbar\frac{\partial}{\partial t_2}\right)K(\vec x_2,t_2;\vec x_1,t_1) =</math>

<math>=-i\hbar\left( \delta(t_2-t_1) \sum_E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}+ \theta(t_2-t_1) \sum _E\left(-\frac{i}{\hbar}\right)\sum_E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}\right)+\theta(t_2-t_1)\sum_E E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}</math>

<math>=-i\hbar\delta(t_2-t_1)\sum_E\Psi_E(\vec x_2)\Psi_E^*(\vec x_1)e^{-\frac{i}{\hbar}E(t_2-t_1)}</math>

<math>\underbrace{}_{\langle \vec x_1|}\mathcal I\underbrace{}_{|\vec x_2\rangle } = \sum_E|\Psi_E\rangle \langle \Psi_E|</math>

El resultado final es la ecuación diferencial

<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2_2+V(\vec x_2) -i\hbar\frac{\partial}{\partial t_2}\right) K(\vec x_1,t_1;\vec x_2,t_2) = -i\hbar \delta(t_2-t_1)\delta^3(\vec x_2- \vec x_1)</math>

Nota matemática:

<math>\to</math> <math>K</math> es una "función de Green" de <math>H-i\hbar\frac{\partial}{\partial t_2}</math>

Resolver esta ecuación diferencial es complicado (imposible). El caso más fácil es <math>V(\vec x)=0</math>, particula libre.

<math>H|\Psi_E\rangle =E|\Psi_E\rangle </math>

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z^2}\right)\Psi_E(\vec x)=E\Psi_E(\vec x)</math>

Esto son las ondas planas (tienen la E bien definida)

<math>\Rightarrow \Psi_E(\vec x)=\Psi_{\vec p}(\vec x)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec p \cdot \vec x}</math>

<math>H\Psi_E(\vec x)=\frac{p^2}{2m} \cdots </math>

Y tras operaciones se llega a <math>\cdots</math>

<math>K(\vec x_2 \cdots)=\theta(t_2-t_1)e^{-i\frac{3\pi}{4}\left[\frac{m}{2\pi\hbar(t_2-t_1)}\right]^{3/2}e^{i\frac{m}{2\hbar}}\frac{\vec (x_2-\vec x_1)^2}{t_2-t_1}}</math>

<math>\cdots</math>

por métodos perturbativos para ir aproximándose a la solución a partir del ''propagador libre'' (consiste en poner el propagador igual a 0).