Mecánica cuántica/Densidad y corriente de probabilidad

Se define la densidad de probabilidad $\rho (\overrightarrow{x},t)$ asociada a $|\mathrm{\Psi }⟩$ como

$\rho (\overrightarrow{x},t)=⟨\mathrm{\Psi }(t)|\overrightarrow{x}⟩⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t){|}^2$

$P_v=\underset{V}{\int }dV\rho =\underset{V}{\int }dV\underset{densidaddeprobabilidad}{\underbrace{|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t){|}^2}}$

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})$ es la densidad de amplitud de probabilidad

$M=\underset{V}{\int }dV\rho$

¿Cómo cambia $\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t)$ con el tiempo?

Ecuación de Schrödinguer:

$i\hslash \frac{d\mathrm{\Psi }(x,t)}{dt}=H\mathrm{\Psi }(x,t)$

$H_{clas}=\frac{p^2}{2m}+V(x)$

$p\doteq -i\hslash \frac{d}{dx}(\text{En 3-D: }\overrightarrow{p}\doteq i\hslash \mathrm{\nabla })$

$p^2\doteq -{\hslash }^2\frac{d^2}{d{x}^2}(\text{En 3-D: }{p}^2\doteq -{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2)$

$H\doteq -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)$

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=H\mathrm{\Psi }(x,t)$

Ecuación de Schrödinguer

Si V no depende de t (sistema estacionario), los autovalores del Hamiltoniano son las energías accesibles al sistema

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x},t)+V(\overrightarrow{x})\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t)=E\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t)$

$⟨\overrightarrow{x}|H|{\mathrm{\Psi }}_E⟩=⟨\overrightarrow{x}|E|{\mathrm{\Psi }}_E⟩$

Si integramos la ecuación de $S$ en esta representación

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t)={\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})e^{-\frac{i}{\hslash }E(t-t_0)}$

${\rho }_E(\overrightarrow{x},t)={\mathrm{\Psi }}_E^{*}{\mathrm{\Psi }}_E=|{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x}){|}^2$

$⟹$ La densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

$\to$ Estacionario no significa que esté parado, pero sí que su probabilidad de encontrarlo en cualquier posición es fija.

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=H\mathrm{\Psi }$

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{i}{\hslash }H\mathrm{\Psi }$

$\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}=\frac{i}{\hslash }{\left(H\mathrm{\Psi }\right)}^{*}$

$\rho (\overrightarrow{x},t)={\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\Psi }$

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\overbrace{=}-\frac{i}{\hslash }[{\mathrm{\Psi }}^{*}H\mathrm{\Psi }-(H\mathrm{\Psi }{)}^{*}\mathrm{\Psi }]$

$-\frac{i}{\hslash }(-{\hslash }^2{\mathrm{\Psi }}^{*}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }}{2m}+{\mathrm{\Psi }}^{*}V\mathrm{\Psi }+{\hslash }^2\mathrm{\Psi }\frac{{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}}{2m}-\mathrm{\Psi }{V}^{*}{\mathrm{\Psi }}^{*})=$

$\frac{i\hslash }{2m}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*})$

$=\mathrm{\nabla }\left[\underset{\text{Esto será el vector }-\overrightarrow{J}}{\underbrace{i\frac{\hslash }{2m}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})}}\right]$

$\overrightarrow{J}=-\frac{i\hslash }{2m}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})$

Densidad de corriente de probabilidad.

Notemos:

$\overrightarrow{J}=-\frac{i\hslash }{2m}(A-A^{*})=\frac{2i\hslash }{2m}\mathrm{\Im }A$

$\overrightarrow{J}=\frac{\hslash }{m}\mathrm{\Im }\left({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\right)$

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}$

$\frac{\partial \rho (\overrightarrow{x},t)}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}(\overrightarrow{x},t)=0$

Integrando esto (para entender más cosas)

$V\in {ℝ}^3:\underset{V}{\int }dV\frac{\partial \rho }{\partial t}+\int dV\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=0$

$\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\underset{\text{Probabilidad de encontrar la parícula en el volúmen}}{\underbrace{\underset{V}{\int }dV\rho }}+{\oint }_{V}d\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{J}=0$

Esto dice: "Lo que varía la probabilidad en V es la cantidad de probabilidad que se ha escapado"

En el infinito

$\mathrm{\Psi }\to 0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\underset{V\to 0}{\int }dV\rho =0\Rightarrow \int dV\rho =cte=1$

"Las desintegraciones o colisiones inelásticas no las resuelve bien la MC; es necesario Teoría Cuántica de Campos o potenciales complejos."

¿Cuánto valdrá $\underset{{ℝ}^3}{\int }dx\overrightarrow{J}$

$⟨\overrightarrow{P}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\mathrm{\Psi }|\overrightarrow{P}|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{{ℝ}^3}{\int }{d}^{3}x{\mathrm{\Psi }}^{*}(-i\hslash )\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=\int d^{3}xi\hslash (\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})\mathrm{\Psi }$

$\underset{{ℝ}^3}{\int }dx\overrightarrow{J}=\frac{⟨P{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{m}=⟨\overrightarrow{v}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$

Si el estado es propio de $H$: ${\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x},t)={\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})e^{-\frac{i}{\hslash }E(t-t_0)}$\\

$\rho =|{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x},t){|}^2=|{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x}){|}^2=cte$

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=0$

$⟨\overrightarrow{v}{⟩}_{{\mathrm{\Psi }}_E}=0$

Estados estacionarios

$\to$ Conocidas las funciones de onda ${\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})$ puede obtenerse la evolución de una función de onda arbitraria $\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})$.

$|\mathrm{\Psi }(t_2)⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }H(t_2-t_1)}|\mathrm{\Psi }(t_1)⟩=\sum _E|{\mathrm{\Psi }}_E⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_E|\mathrm{\Psi }(t_1)⟩e^{\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}$

$\Rightarrow \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x},t_2)=\int d^3{x}_1\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x}){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{x}}_1,t_1)$

A partir de los autoestados podemos conocer la evolución temporal.

Teorema de Ehrenfest

Vamos a tratar de demostrarlo razonando.

Límite de la mecánica clásica:

Diferencia fundamental entre la Mecánica Cuántica y la Mecánica clásica:

$\overrightarrow{x}$ y $\overrightarrow{p}$ tienen incertidumbre en una partícula simultáneamente.

$\begin{array}{c}⟨\overrightarrow{X}{⟩}_{\mathrm{\Psi }},⟨\overrightarrow{P}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}\overrightarrow{X},{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Psi }}\overrightarrow{P}\end{array}\}\text{Esto sería clásica si: }\hslash \to 0$

Supongamos:

$H_{cl}=\frac{P^2}{2m}+V(\overrightarrow{x})\Rightarrow \frac{d{x}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i}=\frac{p_i}{m}$

$\frac{\partial p_i}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial x_i}=(?)-\frac{\partial V}{\partial x_i}=F_i$

$\frac{d⟨A{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$

$\frac{d}{dt}⟨x_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=\frac{1}{i\hslash }⟨[X_i,H]{⟩}_{\mathrm{\Psi }};H=\frac{p^2}{2m}+V(\overrightarrow{X})$

$[X_i,P^2]=[X_i,P_i]=X_i{P}_i{P}_i-P_i{P}_i{X}_i=\stackrel{i\hslash }{\overbrace{[X_i,P_i]}}{P}_i+P_i\stackrel{i\hslash }{\overbrace{[X_i,P_i]}}=2i\hslash P_i$

$\frac{d}{dt}⟨x_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=\frac{2i\hslash }{i\hslash }⟨\frac{P_i}{2m}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\frac{P_i}{m}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨v_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$

Y la segunda ecuación:

$\frac{d}{dt}⟨P_i{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=\frac{1}{i\hslash }⟨[P_i,H]{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=$

$-\frac{i\hslash }{i\hslash }⟨\mathrm{\nabla }V(\overrightarrow{x}){⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\overrightarrow{F}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$

$[\overrightarrow{P},V(\overrightarrow{x})]=\overrightarrow{P}V(\overrightarrow{x})-V(\overrightarrow{x})\overrightarrow{P}=(-i\hslash \mathrm{\nabla })V(\overrightarrow{x})-V(\overrightarrow{x})(-i\hslash \mathrm{\nabla })\underset{repr.depos.}{\underbrace{=}}-i\hslash (\mathrm{\nabla }V(\overrightarrow{x}))$

Teorema de Ehrenfest

$\frac{d⟨\overrightarrow{x}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{dt}=\frac{⟨\overrightarrow{P}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{m}$

$\frac{d⟨\overrightarrow{P}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{dt}=-⟨\mathrm{\nabla }V(\overrightarrow{X}){⟩}_{\mathrm{\Psi }}=⟨\overrightarrow{F}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}$ $=⟨\overrightarrow{F}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}=m\frac{d^2⟨\overrightarrow{X}{⟩}_{\mathrm{\Psi }}}{d{t}^2}$

El dentro del paquete de ondas se mueve como una partícula clásica sometida a la fuerza promedio (esto se parece a las leyes de Newton).

El propagador

La evolución temporal de la función de onda puede describirse usando el propagador

$\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{x}}_2,t_2)=\underset{operadorintegral}{\underbrace{\int d^3{x}_1\stackrel{propagador}{\overbrace{K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)}}}}\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{x}}_1,t)$

El propagador es el kernel del operador.

¿Cuál es su significado físico?

Supongamos una partícula localizada en ${\overrightarrow{x}}_1={\overrightarrow{x}}_i$ a las $t_1$

$|{\overrightarrow{x}}_{i}t⟩ngrightarrow\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{x}}_i,t)=\delta ({\overrightarrow{x}}_1-{\overrightarrow{x}}_i)$

$\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{x}}_2,t_2)=\int d^3{x}_{1}K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)\cdot {\delta }^3({\overrightarrow{x}}_1-{\overrightarrow{x}}_i)=K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)$

Nos da la densidad de amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula que originalmente estaba en ${\overrightarrow{x}}_1$ en $t_1$ en ${\overrightarrow{x}}_2$ a las $t_2$.

$K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)=⟨{\overrightarrow{x}}_2{t}_2|{\overrightarrow{x}}_1{t}_1⟩=⟨{\overrightarrow{x}}_2|U(t_2,t_1)\underset{ℐ=\sum _E|{\mathrm{\Psi }}_E⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_E|}{\underbrace{|}}{\overrightarrow{x}}_1⟩$

Diagonalizo el Hamiltoniano y en esa base escribo el operador de clausura. y lo introducimos arriba.

$=\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}$

$\to$ Conocidos los autoestados del hamiltoniano $H$ (lo cual solo es posible en determinados casos muy concretos) puede deducirse el propagador.

$\to$ Estaremos interesados en el caso $t_2⟩t_1$. Se define el propagador retardado

$K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)=⟨{\overrightarrow{x}}_2|U(t_2,t_1)|{\overrightarrow{x}}_1⟩\theta (t_2-t_1)$

donde la función es

$\theta (t_2-t_1)=\{\begin{array}{ccc}1& si& t_2⟩t_1\\ 0& si& t_2<t_1\end{array}.$

Poner un dibujo que se vea que es como una función escalón.

El factor $\theta (t_2-t_1)$ hace que el propagador rectificado satisfaga la si\-guien\-te ecuación diferencial

$\frac{\theta (t_2-t_1)}{d{t}_2}=\delta (t_2-t_1)$

$K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)=\theta (t_2-t_1)\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}$

$(H-i\hslash \frac{\partial }{\partial t_2})K({\overrightarrow{x}}_2,t_2;{\overrightarrow{x}}_1,t_1)=$

$=-i\hslash (\delta (t_2-t_1)\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}+\theta (t_2-t_1)\sum _E(-\frac{i}{\hslash })\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)})+\theta (t_2-t_1)\sum _{E}E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}$

$=-i\hslash \delta (t_2-t_1)\sum _E{\mathrm{\Psi }}_E({\overrightarrow{x}}_2){\mathrm{\Psi }}_E^{*}({\overrightarrow{x}}_1)e^{-\frac{i}{\hslash }E(t_2-t_1)}$

$\underset{⟨{\overrightarrow{x}}_1|}{\underset{}{⏟}}ℐ\underset{|{\overrightarrow{x}}_2⟩}{\underset{}{⏟}}=\sum _E|{\mathrm{\Psi }}_E⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_E|$

El resultado final es la ecuación diferencial

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\underset{2}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}+V({\overrightarrow{x}}_2)-i\hslash \frac{\partial }{\partial t_2})K({\overrightarrow{x}}_1,t_1;{\overrightarrow{x}}_2,t_2)=-i\hslash \delta (t_2-t_1){\delta }^3({\overrightarrow{x}}_2-{\overrightarrow{x}}_1)$

Nota matemática:

$\to$ $K$ es una "función de Green" de $H-i\hslash \frac{\partial }{\partial t_2}$

Resolver esta ecuación diferencial es complicado (imposible). El caso más fácil es $V(\overrightarrow{x})=0$, particula libre.

$H|{\mathrm{\Psi }}_E⟩=E|{\mathrm{\Psi }}_E⟩$

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{\partial }{\partial x^2}+\frac{\partial }{\partial y^2}+\frac{\partial }{\partial z^2}){\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})=E{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})$

Esto son las ondas planas (tienen la E bien definida)

$\Rightarrow {\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})={\mathrm{\Psi }}_{\overrightarrow{p}}(\overrightarrow{x})=\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{e}^{\frac{i}{\hslash }\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{x}}$

$H{\mathrm{\Psi }}_E(\overrightarrow{x})=\frac{p^2}{2m}\cdots$

Y tras operaciones se llega a $\cdots$

$K({\overrightarrow{x}}_2\cdots )=\theta (t_2-t_1)e^{-i\frac{3\pi }{4}{\left[\frac{m}{2\pi \hslash (t_2-t_1)}\right]}^{3/2}{e}^{i\frac{m}{2\hslash }}\frac{\overrightarrow{(}{x}_2-{\overrightarrow{x}}_1{)}^2}{t_2-t_1}}$

$\cdots$

por métodos perturbativos para ir aproximándose a la solución a partir del propagador libre (consiste en poner el propagador igual a 0).