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==Conjuntos ordinales==

=== Conjuntos transitivos ===

'''Definición:'''

Diremos que un conjunto <math>A</math> es transitivo si cada elemento de cada elemento de <math>A</math> es a su vez un elemento de <math>A</math>. Es decir, si se cumple que cualesquiera que sean el <math>x \in A</math> y el <math>y \in x</math>, entonces <math>y \in A</math>.

==== Proposición ====

Un conjunto <math>A</math> es transitivo si y sólo si <math>B \in A \Rightarrow B \subset A</math>.

'''Demostración:'''

Supongamos que <math>A</math> es un conjunto transitivo, es decir, que cualesquiera que sean <math>x \in A</math> e <math>y \in x</math>, se tiene que <math>y \in A</math>. Así, por definición de subconjunto, <math>x \subset A</math>.

Recíprocamente, supongamos que <math>A</math> es un conjunto de manera que si <math>x \in A</math>, entonces <math>x \subset A</math>. Sea <math>x \in A</math>. Si <math>x = \varnothing</math>, entonces es ya automáticamente <math>x \subset A</math>. Sea pues <math>x \neq \varnothing</math>, y sea <math>y \in x\subset A</math>. Luego <math>y \in A</math>. Así pues, <math>A</math> es transitivo.

'''Q.E.D.'''

==== Proposición ====

Si <math>A</math> es un conjunto transitivo, su sucesor <math>A^+</math> es también un conjunto transitivo.

'''Demostración:'''

Sea <math>x \in A^+=A \cup \{A\}</math>. Entonces, o es <math>x=A</math>, o es <math>x \in A</math>. Sea <math>y \in x</math>. En el caso en que <math>x=A</math>, entonces es <math>y \in A</math>, luego <math>y \in A \cup \{A\}=A^+</math>. En el caso en que <math>x \in A</math>, como <math>A</math> es transitivo, entonces <math>y \in A</math>, luego <math>y \in A \cup \{A\}=A^+</math>.

En cualquier caso, queda demostrado que <math>A^+</math> es de nuevo transitivo.

'''Q.E.D.'''

=== Ordinales ===

'''Definición:'''

Diremos que un conjunto transitivo <math>A</math> es un ordinal si la relación <math>\sim \in \mathcal{P}(A \times A)</math> definida por <math>x \, \sim \, y</math> si y sólo si <math>x=y</math> o <math>x \in y</math> es un buen orden en <math>A</math>.

==== Proposición ====

El sucesor de todo ordinal es un ordinal.

'''Demostración:'''

Un conjunto es un ordinal si es transitivo y está bien ordenado por la relación <math>\sim</math>. Ya hemos demostrado que el sucesor de todo conjunto transitivo es transitivo. Falta demostrar que el sucesor de un ordinal también está bien ordenado por la relación <math>\sim</math>.

Sea <math>A</math> un ordinal. Consideremos su sucesor <math>A^+=A\cup\{A\}</math>. Para demostrar que <math>\sim</math> es un buen orden en <math>A^+</math> hemos de demostrar primero que es efectivamente un orden:

Sea <math>c \in A^+</math>. Como <math>c=c</math>, entonces es <math>c \, \sim \, c</math>, y la relación <math>\sim</math> es reflexiva en <math>A^+</math>.

Sean <math>b,c \in A^+</math> de forma que <math>b\, \sim \,c</math> y que <math>c\, \sim\, b</math>. Tenemos las siguientes posibilidades:
* <math>b,c \in A</math>: como <math>A</math> es un ordinal, está bien ordenado por <math>\sim</math>, luego en particular <math>\sim</math> es un orden en <math>A</math>, y es antisimétrica. Es decir, como <math>b,c \in A</math> y además <math>b\,\sim\,c</math> y <math>c\,\sim\,b</math>, entonces <math>b=c</math>.
* <math>b \in A</math> y <math>c = A</math>:
:Como <math>c \,\sim \, b</math>, tenemos estas dos opciones:
:* Si <math>c \in b</math>: <math>A</math> es transitivo, y <math>c=A</math>, con lo que <math>c</math> es transitivo. Ahora bien, <math>c \in b</math>, <math>b \in c</math> y <math>c</math> transitivo implican que <math>c \in c</math>, contradicción. Luego no puede ser que <math>c \in b</math> (o sea, este caso no se puede dar).
:* Si <math>c=b</math>, entonces como <math>b=c</math> y <math>b \in c</math>, sería <math>b \in b</math>, contradicción (o sea, que este caso tampoco se puede dar).
:Esto prueba que no es posible que ocurran a la vez <math>b\, \sim \,c</math>, <math>c\, \sim\, b</math>, <math>b \in A</math> y <math>c = A</math>. Este caso, entonces, nunca se da.
* <math>c \in A</math> y <math>b = A</math>: obviamente llegamos a la misma contradicción que en el caso anterior (o sea, este caso tampoco se puede dar).
* <math>b=A</math> y <math>c=A</math>: entonces es <math>b=c</math>.
Con lo cual hemos demostrado que la relación <math>\sim</math> es antisimétrica.

Sean <math>b,c,d \in A^+</math> de forma que <math>b\, \sim \,c</math> y que <math>c\, \sim\, d</math>. Tenemos las siguientes posibilidades:
* <math>b=c</math> y <math>c=d</math>: entonces es <math>b=d</math>, esto es, <math>b \, \sim \, d</math>.
* <math>b \in c</math> y <math>c =d</math>: entonces es <math>b \in d</math>, esto es, <math>b \, \sim \, d</math>.
* <math>b=c</math> y <math>c \in d</math>: entonces es <math>b \in d</math>, esto es, <math>b \, \sim \, d</math>.
* <math>b\in c</math> y <math>c \in d</math>:
:* Si <math>d=A</math>, es entonces <math>d</math> transitivo. Como <math>b \in c</math>, <math>c \in d</math> y <math>d</math> es transitivo, entonces es <math>b \in d</math>, esto es, <math>b \, \sim \, d</math>.
:* Si <math>d\in A</math>, tenemos los siguientes casos: 
::* <math>b=A</math>: tenemos que <math>c\in d</math>, <math>d \in A</math> y <math>A</math> es transitivo, luego <math>c \in A</math>. Como <math>b=A</math>, <math>b \in c</math>, <math>c\in A</math> y <math>A</math> es transitivo, concluimos que <math>b \in A</math>, i.e., <math>A \in A</math>. Contradicción. Así que este caso no se puede dar.
::* <math>c=A</math>: tendríamos que <math>d \in A</math>, <math>c \in d</math> y <math>A</math> transitivo, luego sería <math>c \in A</math>. Pero <math>c =A</math>, luego resultaría <math>A \in A</math>, contradicción. Este caso tampoco es posible, y por lo tanto nunca se da.
::* <math>b \in c</math>, <math>c \in d</math> y <math>b,c,d \in A</math>. Entonces es <math>b \, \sim \, c</math>, <math>c \, \sim \, d</math>, y como <math>A</math> es ordinal, <math>\sim</math> es relación de orden en <math>A</math>, luego es transitiva, y al ser <math>b,c,d \in A</math>, concluimos que <math>b \, \sim \, d</math>.
Así, <math>\sim</math> es relación transitiva en <math>A^+</math>, y por todo lo anterior es <math>(A^+, \,\sim)</math> un conjunto ordenado.

Ahora resta por comprobar que <math>\sim</math> es un buen orden en <math>A^+</math>, es decir, que todo subconjunto no vacío de <math>A^+</math> tiene elemento mínimo según la relación <math>\sim</math>.

Sea pues <math>B \subset A^+</math> con <math>B \neq \varnothing</math>. Si <math>B=\{A\}</math>, entonces <math>A</math> es elemento mínimo de <math>B</math>. Supongamos que <math>A \notin B</math>. Entonces <math>B \subset A^+\backslash \{A\}=A\cup \{A\} \backslash \{A\}=A</math> y <math>B \neq \varnothing</math>. Entonces <math>B</math> tiene primer elemento para la relación <math>\sim</math> en <math>A</math>, y por la propia definición de <math>\sim</math>, es claro que es también primer elemento para la relación <math>\sim</math> en <math>A^+</math>. Por último, si <math>A \in B</math> y <math>B \neq \{A\}</math>, entonces <math>B':= B \backslash \{A\} \neq \varnothing</math> y <math>B' \subset A^+\backslash \{A\}=A\cup \{A\} \backslash \{A\}=A</math>. Así, existe un <math>b \in B' \subset B</math> de forma que <math>b</math> es elemento mínimo de <math>B'</math>. Como <math>B' \subset A</math>, entonces es <math>b \in A</math>, luego <math>b \, \sim \, A</math>, y es <math>b</math> elemento mínimo de <math>B' \cup \{A\} = B</math>.

'''Q.E.D.'''

==== Ejemplos de ordinales. ====

La proposición anterior nos dota de una herramienta para construir ordinales. en efecto, es inmediato comprobar que <math>\varnothing</math> es un ordinal. Por la proposición anterior, <math>\varnothing ^+= \varnothing \cup \{\varnothing\}=\{\varnothing\}</math> es también un ordinal. Así, calculando sucesivamente los sucesores de cada ordinal obtenido, obtenemos que son también ordinales: <math>\{\varnothing,\{\varnothing\}\}</math>, <math>\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}</math>,...

==== Definición ====

Diremos que un conjunto <math>x</math> es un ordinal sucesor si existe un conjunto <math>y</math> de forma que <math>y</math> sea un ordinal y que <math>x = y^+</math>.

Diremos que un conjunto ordinal <math>\alpha</math> es un número natural si se cumple que para cada <math>\beta \subset \alpha</math>, o bien es <math>\beta = \varnothing</math> o bien es <math>\beta</math> es un ordinal sucesor.

[[Categoría:Conjuntos numéricos]]