Mecánica cuántica/Reglas de conmutación del momento angular orbital

Clásicamente: el momento angular $\overrightarrow{L}$ respecto al origen de una partícula con vector de posición $\overrightarrow{x}$ y momento lineal $\overrightarrow{p}$ es el siguiente:

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{p}$

• $L=xp\sin \theta$
• Si $\overrightarrow{x}\parallel \overrightarrow{p}\Rightarrow \overrightarrow{L}=0$

Postulado IV:

$\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{X}\overrightarrow{p}\to \overrightarrow{P}$

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{P}$

$L_1=X_2{P}_3-X_3{P}_2\equiv Y{P}_z-Z{P}_y$

$L_i=\sum _{j,k}{ϵ}_{ijk}{X}_j{P}_k$

Donde ${ϵ}_{ijk}$ es el tensor (símbolo) antisimétrico epsilon Levi-Civita que se define como

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{ccc}0& \text{ si}& \text{hay índices repetidos}\\ 1& \text{ si}& \{\begin{array}{c}\text{i=1, j=2 y k=3}\\ \text{permutación par de lo anterior}\end{array}\\ -1& \text{ si}& \text{permutación impar}\end{array}$

En particular

$\begin{array}{ccc}{L}_1& =& \sum _{j,k=1}^3{ϵ}_{1jk}{X}_j{P}_k=\\ & =& \sum _{j,k=2}^3{ϵ}_{1jk}{X}_j{P}_k+\cancel{\sum _{j=1}^3{ϵ}_{1j1}{X}_j{P}_1}+\cancel{\sum _{k=1}^3{ϵ}_{11k}{X}_1{P}_k}\\ & =& \underset{0}{\underbrace{{ϵ}_{122}}}{X}_2{P}_2+\underset{1}{\underbrace{{ϵ}_{123}}}{X}_2{P}_3+\underset{-1}{\underbrace{{ϵ}_{132}}}{X}_3{P}_2+\underset{0}{\underbrace{{ϵ}_{133}}}{X}_3{P}_3\\ & =& Y{P}_z-Z{P}_y\end{array}$

A partir de

$[x_i,p_j]=i\hslash {\delta }_{ij}ℐ$

llegamos a las reglas de conmutación del momento angular

$[L_i,L_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{L}_k$

• El momento angular cuántico $\overrightarrow{L}$ vendrá descrito por 3 matrices $(L_1,L_2,L_3)$ que obedecen las reglas de conmutación.