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Método de Cardano

Sea una ecuación algebraica polinomial de tercer grado completa sin normalizar en una sola variable $x$ de la forma

$a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0,a_3=0,1(1)$

donde $a_3,a_2,a_1,a_0\in ℝ$ son sus coeficientes polinomiales. Sean $x_1,x_2,x_3$ las tres raíces de la ecuación $(1)$ que deseamos calcular. Dividiendo ambos lados de la ecuación $(1)$ por su coeficiente principal $a_3$ obtenemos

$\frac{a_3}{a_3}{x}^3+\frac{a_2}{a_3}{x}^2+\frac{a_1}{a_3}x+\frac{a_0}{a_3}=0,a_3=0,1(2)$

si definimos $a_3/a_3\equiv 1,a_2/a_3\equiv b,a_1/a_3\equiv c,a_0/a_3\equiv d$, la ecuación $(2)$ queda como

$x^3+b{x}^2+cx+d=0(3)$

con lo cual hemos ya normalizado la ecuación $(1)$, pues es más fácil de trabajar la ecuación $(3)$ ya normalizada que la ecuación $(1)$, pero con la ventaja de que las raíces de ambas son exactamente iguales. Ahora, realicemos la transformación de Tschirnhausen, dada en la forma

$x=y-\frac{b}{3}(4)$

lo que nos permite eliminar el término de la potencia cuadrática cuando se sustituye la ecuación $(4)$ en la ecuación $(3)$, así se obtiene

${(y-\frac{b}{3})}^3+b{(y-\frac{b}{3})}^2+c(y-\frac{b}{3})+d=0(5)$

donde al desarrollarse los binomios y simplificar términos comunes nos da

$y^3+(c-\frac{b^2}{3})y+\frac{1}{27}(27d-9bc+2b^3)=0(6)$

y si hacemos las sustituciones arbitrarias pero convenientes

$p=c-\frac{b^2}{3}(7),q=\frac{1}{27}(27d-9bc+2b^3)(8)$

obtenemos la ecuación

$y^3+py+q=0(9)$

a la cual se le llama ecuación cúbica reducida por contener un término menos (en este caso ha desaparecido el término cuadrático por el uso de la transformación de Tschirnhaus) que la ecuación completa $(1)$, la cual es más fácil de resolver que la ecuación $(1)$, de modo que si resolvemos la ecuación $(9)$ entonces las raíces de la ecuación $(1)$ se calcularán de forma sencilla usando la ecuación $(4)$ por ser esta una relación lineal e invertible. Note que si $a,b,c,d\in ℝ$, implica necesariamente según las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ que $p,q\in ℝ$. La ecuación $(9)$ tiene tres raíces $y_1,y_2,y_3$ que se calculan como sigue:

$y_1=A+B(10)$

$y_2=-\frac{1}{2}(A+B)+i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B),i^2=-1(11)$

$y_3={\overline{y}}_2=-\frac{1}{2}(A+B)-i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B),i^2=-1(12)$

donde los valores de $A$, $B$ y $D$ se definen como

$A\equiv \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}(13),B\equiv \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}(14),D\equiv {\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2(15)$

donde $D$ es el discriminante de la ecuación cúbica $(1)$ y nos ayuda a establecer cuatro casos posibles distintos como sigue.

Caso 1. Una raíz real y dos complejas conjugadas entre sí

Si $a,b,c,d\in ℝ$ y $D>0$, para $p,q=0$, se tiene para la ecuación $(9)$ una raíz real dada como $y_1$ por la ecuación $(10)$ y dos raíces complejas conjugadas $(y_2={\overline{y}}_3)$, dadas por las ecuaciones $(11)$ y $(12)$. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad $(b/3)$ de acuerdo a la ecuación $(4)$ se obtiene una raíz real $x_1$ y dos complejas conjugadas $(x_2={\overline{x}}_3)$ también para la ecuación de interés $(3)$. Este es uno de los dos casos en que se presentan las raíces de multiplicidad unitaria.

Ejemplo 1. Usando el método de Cardano calcule las tres raíces de la ecuación cúbica siguiente:

$2x^3-10x^2+22x-14=0$

Solución. Primero normalizamos la ecuación dividiendo ambos lados por su coeficiente principal $a_3=2$, para dar

$x^3-5x^2+11x-7=0$

la cual al compararla con la ecuación $(3)$ podemos definir que $a=1,b=-5,c=11,d=-7$, con los cuales podemos calcular $p$ y $q$ a partir de las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ respectivamente para dar

$p=c-\frac{b^2}{3}=11-\frac{(-5{)}^2}{3}=\frac{33}{3}-\frac{25}{3}=\frac{8}{3}$

$q=\frac{1}{27}(27d-9bc+2b^3)=\frac{1}{27}[27(-7)-9(-5)(11)+2(-5{)}^3]=\frac{1}{27}(-189+495-250)=\frac{56}{27}$

con estos valores podemos calcular el discriminante $D$ mediante la ecuación $(15)$ para dar

$D={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2={\left(\frac{8/3}{3}\right)}^3+{\left(\frac{56/27}{2}\right)}^2=\frac{512}{729}+\frac{784}{729}=\frac{1296}{729}=\frac{16}{9}={\left(\frac{4}{3}\right)}^2>0$

puesto que $a,b,c,d\in ℝ$ y $D>0$, entonces obtendremos una raíz real y dos complejas conjugadas. Para ello, calculamos primero los valores de A y B mediante las ecauciones $(13)$ y $(14)$, respectivamente, para dar

$A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}=\sqrt[3]{-\frac{56/27}{2}+\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}}=\sqrt[3]{-\frac{28}{27}+\frac{4}{3}}=\frac{2}{3}$

$B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\sqrt[3]{-\frac{56/27}{2}-\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}}=\sqrt[3]{-\frac{28}{27}-\frac{4}{3}}=-\frac{4}{3}$

las raíces de la ecuación $(9)$ se calculan mediante las ecuaciones $(10)$,$(11)$ y $(12)$ para dar respectivamente

$y_1=A+B=\frac{2}{3}+(-\frac{4}{3})=-\frac{2}{3}$

$y_2=-\frac{1}{2}(A+B)+i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B)=\frac{1}{3}+i\sqrt{3},i^2=-1$

$y_3={\overline{y}}_2=\frac{1}{3}-i\sqrt{3},i^2=-1$

ahora, ya por último, usaremos la ecuación $(20)$ para poder obtener las raíces de la ecuación que nos pedían resolver, como

$x_1=y_1-\frac{b}{3}=1,x_2=y_2-\frac{b}{3}=2+i\sqrt{3},x_3={\overline{x}}_2=2-i\sqrt{3}$.

Caso 2. Raíces reales de multiplicidad dos

Si $a,b,c,d\in ℝ$ y $D=0$, para $p,q=0$, se tiene para la ecuación $(9)$ tres raíces reales de las cuales dos de ellas son iguales entre sí, es decir, este es el único caso donde se presentan las raíces dobles. Esto es, que $y_1=-2y_2=-2y_3$. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad $(b/3)$ de acuerdo a la ecuación $(4)$ se obtienen tres raíces reales para la ecuación cúbica $(3)$, de las cuales dos de ellas serán iguales entre sí también $(x_2={\overline{x}}_3)$.

Ejemplo 2. Resuelva mediante el método de Cardano la siguiente ecuación cubica:

$x^3-7x^2+16x-12=0$

Solución. Es una ecuación ya normalizada, por lo que al compararla con la ecuación $(3)$ podemos definir que $a=1,b=-7,c=16,d=-12$, con los cuales podemos calcular los valores de $p$ y $q$ mediante las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ como sigue:

$p=c-\frac{b^2}{3}=16-\frac{(-7{)}^2}{3}=-\frac{1}{3}$

$q=\frac{1}{27}(27d-9bc+2b^3)=\frac{1}{27}[27(-12)-9(-7)(16)+2(-7{)}^3]=-\frac{2}{27}$

con estos valores podemos calcular el discriminante $D$ a partir de la ecuación $(15)$ como

$D={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2={\left(\frac{-1/3}{3}\right)}^3+{\left(\frac{-2/27}{2}\right)}^2=0$

puesto que $D=0$, entonces obtendremos tres raíces reales de las cuales dos de ellas serán exactamente iguales entre si. Calculamos los valores de $A$ y $B$ de las ecuaciones $(13)$ y $(14)$ para dar

$A=B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=\sqrt[3]{-\frac{-2/27}{2}}=\frac{1}{3}$

así, las raíces de la ecuación $(9)$ serán

$y_1=A+B=2A=2B=2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$

$y_2=y_3=-\frac{1}{2}(A+B)=-A=-B=-\frac{1}{3}$

de este modo, las raíces pedidas son obtenidas mediante la ecuación $(20)$ como

$x_1=y_1-\frac{b}{3}=\frac{2}{3}-\frac{(-7)}{3}=3$

$x_2=x_3=y_2-\frac{b}{3}=y_3-\frac{b}{3}=-\frac{1}{3}-\frac{(-7)}{3}=2.$

Caso 3. Raíces reales de multiplicidad tres

Existe el caso en que se pueden obtener tres raíces reales de multiplicidad tres que ocurre si y sólo si se cumple la condición de que $p=q=0$, lo que implica necesariamente de ecuerdo a la ecuación $(15)$ que $D=0$, lo que también implica necesarimente según las ecuaciones $(13)$ y $(14)$ que $A=B=0$, lo que a su vez implica necesariamente según las ecuaciones $(10)$ a $(12)$ que $y_1=y_2=y_3=0$, de aquí que al regresar a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación $(4)$ vemos que las tres raíces son reales y múltiples de multiplicidad tres y que valen

$x_1=x_2=x_3=-\frac{b}{3}(16)$

esto es, que la ecuación $(3)$ se puede poner como

$x^3+b{x}^2+cx+d=0=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_1{)}^3={(x+\frac{b}{3})}^3(17)$

es decir, que puede expresarse como un binomio elevado al cubo.

Caso 4. Tres raíces reales y distintas entre sí

Si $a,b,c,d\in ℝ$ y $D<0$, para cualquier valor y signo de q, pero donde necesariamente $p<0$, se tiene para la ecuación $(9)$ tres raíces reales $y_0,y_1,y_2$, que son distintas entre sí, las cuales se calculan como

$y_k=\pm 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\varphi +2k\pi }{3}\right),k=0,1,2(18)$

donde $\varphi$ se define como

$\varphi =\arccos \sqrt{\frac{q^2/4}{-p^3/27}},\varphi \text{en rad}(19)$

de donde vemos que el símbolo $\pm$ que precede al valor constante 2 en la expresión $(18)$ se usará como sigue: el signo positivo se usará cuando $q\le 0$ y el signo negativo se usará cuando $q>0$.

Raíces de la ecuación completa

Si es posible obtener con las ecuaciones $(10)$ a $(13)$ precedentes las tres raíces de $(9)$ se regresa a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación $(4)$ y se obtienen las tres raíces de la ecuación $(3)$, como sigue

$x_k=y_k-\frac{b}{3},k=1,2,3(20)$

o si las raíces de $(9)$ están dadas por las ecuaciones $(18)$ y $(19)$ se debe usar $k=0,1,2$ en la ecuación $(20)$.