Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos

Subgrupos

Definición 1.14: Sea $G$ un grupo. Se dice que $H$ es un subgrupo de $G$, hecho que se representa por $H\le G$, si $H\subseteq G$ y si $H$ es él mismo un grupo respecto de la operación de $G$.

Es claro que la identidad de $H$ es la misma que la identidad de $G$, pues éste es el único elemento $a$ de $G$ que cumple $aa=a$. También los inversos de los elementos de $H$ son los mismos en $H$ que en $G$.

Todo grupo $G$ tiene al menos dos subgrupos, a saber, $G$ mismo y el grupo $\{1\}$, llamado subgrupo trivial de $G$, que sólo contiene a la identidad de $G$. Cualquier otro subgrupo de $G$ disitinto de $G$ y $\{1\}$ se dice subgrupo propio de $G$.

Teorema 1.15: Sea $G$ un grupo y $H\subseteq G$ con $H$ no vacío. Entonces $H\le G$ si y sólo si $g{h}^{-1}\in H$ para cualesquiera $g$ y $h$ de $H$.

Demostración: La implicación es obvia. Si $H$ es un subconjunto no vacío de $G$ tal que $g{h}^{-1}\in H$ para todo $g,h\in H$, entonces, en particular, $1=g{g}^{-1}\in H$ (el elemento $g$ existe, pues $H$ es no vacío). Luego también $1g^{-1}=g^{-1}\in H$. Además, puesto que $g(h^{-1}{)}^{-1}=gh\in G$, la operación binaria de $G$ es también operación binaria en $H$, lo que demuestra que $H$ es un subgrupo de $G$.

$◼$

Si $f:G⟶H$ es un homomorfismo de grupos entonces $\ker f$ es un subgrupo de $G$. En efecto, pues si $a,b\in \ker f$, entonces

por lo que $a{b}^{-1}\in \ker f$, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que $\ker f\le G$.

He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:

1. Si $K\le H$ y $H\le G$, entonces $K\le G$.
2. Si $H,K\le G$ y $K\subseteq H$, entonces $K\le H$.

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio $M$ de un grupo $G$ se dice subgrupo maximal de $G$ si $M\le H\le G$ implica $H=G$ o $H=M$ para cualquiera que sea el conjunto $H$.