Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas

Reglas de derivación

Regla de derivación general:

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

Derivada de una suma:

$\frac{d}{dx}(x^a+x^b)=\frac{d}{dx}{x}^a+\frac{d}{dx}{x}^b=a{x}^{a-1}+b{x}^{b-1}$

Derivada de un producto:

$\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

Derivada de un cociente:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

Derivada de una constante

$\frac{d}{dx}(a)=0$

Regla de la cadena:

$\frac{d}{dx}f(u(x))=\frac{df}{du}\frac{du}{dx}$

Resultados previos utilizados

Linealidad

$\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}+\frac{dg(x)}{dx}$

Regla de Leibniz

$\frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=\frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$

Regla de la cadena

$\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}$

Polinomios

Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea $f(x)=x^n$ Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a $h^2$.

$\frac{df}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n+hn{x}^{n-1}+h^2(...)-x^n}{h}$

Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.

$\frac{d{x}^n}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }(n{x}^{n-1}+h(...))=n{x}^{n-1}$

Exponencial

Una de las posibles definiciones de $e^x$ es:

$e^x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$

Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:

$\frac{d{e}^x}{dx}=\frac{d1}{dx}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d}{dx}\frac{x^k}{k!}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k{x}^{k-1}}{k(k-1)!}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$

Obteniendo por tanto:

$\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$

Exponencial en base arbitraria

Sea $f(x)=a^x$. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que $\ln (e^{f(x)})=f(x)=e^{x\ln (a)}$, de modo que derivando obtenemos:

$\frac{d(a^x)}{dx}=\ln (a)e^{x\ln (a)}=\ln (a)a^x$

Logaritmo natural

Por definición de logaritmo natural tenemos que:

$\ln (e^t)=t$

Efectuamos el cambio de variable $x=e^t$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

$\frac{d\ln (x)}{dt}=\frac{d\ln (x)}{dx}\frac{dx}{dt}=1$

Dado que $x=e^t$

$\frac{dx}{dt}=\frac{d{e}^t}{dt}=e^t=x$

Sustituyendo en la penúltima expresión:

$\frac{d\ln (x)}{dx}=\frac{1}{x}$

Funciones trigonométricas

Límites empleados

• El primer límite que emplearemos es:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0$

Demostración Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:

$0\le \sin (x)\le x\le \tan (x)$

Elevando al cuadrado y dividiendo por x:

$0\le \frac{{\sin }^2(x)}{x}=\frac{1-{\cos }^2(x)}{x}=\frac{(1-\cos (x))(1+\cos (x)}{x}\le x$

De modo que tenemos:

$0\le \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}\le \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{1+\cos (x)}=0$

El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0$

• El segundo límite es:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

Demostración Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:

$\sin (x)\le x\le \tan (x)$

Dividiendo por sin(x) tenemos:

$1\le \frac{x}{\sin (x)}\le \frac{1}{\cos (x)}$

Aplicando límite a los tres términos:

$\underset{x\to 0}{\lim }1=1\le \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin (x)}\le \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos (x)}=1$

Obteniendo:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin (x)}=1$

Seno

Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:

$\frac{d\sin (x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)\cos (h)+\cos (x)\sin (h)-\sin (x)}{h}$

Separando en dos límites

$\frac{d\sin (x)}{dx}=\sin (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}+\cos (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}$

El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

$\frac{d\sin (x)}{dx}=\cos (x)$

Coseno

El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:

$\frac{d\cos (x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cos (h)-\sin (x)\sin (h)-\cos (x)}{h}$

Separando en dos límites

$\frac{d\cos (x)}{dx}=\cos (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}-\sin (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}$

El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

$\frac{d\cos (x)}{dx}=-\sin (x)$

Tangente

La tangente viene definida como:

$\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).

$\frac{d(\tan (x))}{dx}=\frac{\cos (x)}{\cos (x)}+\sin (x)\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$

Funciones trigonométricas inversas

Arcoseno

Por definición de arcoseno:

$\arcsin (\sin (t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=sin(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d(\arcsin (x))}{dt}=\frac{d(\arcsin (x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1$

Teniendo en cuenta que:

$\frac{dx}{dt}=\cos (t)=\sqrt{1-{\sin }^2(t)}=\sqrt{1-x^2}$

Sustituyendo

$=\frac{d(\arcsin (x))}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Arcocoseno

Por definición de arcocoseno:

$\arccos (\cos (t))=t$

De nuevo efecttuando el cambio de variable $x=cos(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d(\arccos (x))}{dt}=\frac{d(\arccos (x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1$

Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):

$\frac{dx}{dt}=-\sin (t)=-\sqrt{1-{\cos }^2(t)}=-\sqrt{1-x^2}$

Sustituyendo

$\frac{d(\arccos (x))}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Arcotangente

Por definición de arcotangente:

$\arctan (\tan (t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=tan(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

$\frac{d(\arctan (x))}{dt}=\frac{d(\arctan (x))}{dx}\frac{dx}{dt}=1$

Teniendo en cuenta que:

$\frac{dx}{dt}=1+{\tan }^2(t)=1+x^2$

Sustituyendo

$\frac{d(\arctan (x))}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$