Matemáticas/Números/Naturales/Mínimo Común Múltiplo

Múltiplo

Sea n ∈ ${\mathbb{N}}_0$. Definimos como múltiplo de n a todo número natural que contiene a n un número exacto de veces.

Por ejemplo, tenemos que el número 20 es múltiplo del número 4, pues 20 contiene a 4 un número igual a 5 veces. Por el contrario, el número 15 no es múltiplo del número 6, pues el 15 contiene al 6 un número igual a 2,5 veces, que no es un número natural.

Sea n ∈ $\mathbb{N}$. Definimos el conjunto de múltiplos de n como el conjunto formado por los números que se obtienen al multiplicar n por cada uno de los números naturales. A tal conjunto lo denotamos por M(n). Es decir:

$M(n)=\{n,2n,3n,4n,5n,...\}$

Ejemplo

Vamos a buscar los múltiplos del número 5, que corresponden al siguiente conjunto:

$M(5)=\{5,10,15,20,25,\cdot \cdot \cdot \}$

Ejercicios
Hallar los siguientes conjuntos:

1. $M(2)=\{...,...,...,...,...,\cdot \cdot \cdot \}$
2. $M(3)=\{...,...,...,...,...,\cdot \cdot \cdot \}$
3. $M(7)=\{...,...,...,...,...,\cdot \cdot \cdot \}$
4. $M(10)=\{...,...,...,...,...,\cdot \cdot \cdot \}$

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El MCM de dos o más números es el menor número que contiene exactamente a cada uno de los números dados.

Ejemplos

• El MCM entre los números 12 y 36 es el número 36, pues este es el número más pequeño que contiene a los tres números, es decir:
  

$M(12)=\{12,24,36,48,60,\cdot \cdot \cdot \}$ $M(36)=\{36,72,108,144,180,\cdot \cdot \cdot \}$

Como 36 se repite en ambos conjuntos tenemos que el mínimo que contiene a los dos números es 36.

$MCM(12,36)=36$

• El MCM entre los números 4, 6 y 9 es el número 36, pues este es el número más pequeño que contiene a los tres números, es decir:
  

$M(4)=\{4,8,12,16,20,24,28,32,36,\cdot \cdot \cdot \}$ $M(6)=\{6,12,18,24,30,36,42,\cdot \cdot \cdot \}$ $M(9)=\{9,18,27,36,45,54,63,\cdot \cdot \cdot \}$

Como 36 se repite en estos tres conjuntos, tenemos que el mínimo que contiene a estos tres números es 36.

$MCM(4,6,9)=36$

Ejercicios

Hallar:

• $MCM(6,8)=.....$

$M(6)=\{...,...,...,...,...,...\}$ $M(8)=\{...,...,...,...,...,...\}$

• $MCM(8,12)=.....$

$M(8)=\{...,...,...,...,...,...\}$ $M(12)=\{...,...,...,...,...,...\}$

• $MCM(12,15)=.....$

$M(12)=\{...,...,...,...,...,...\}$ $M(15)=\{...,...,...,...,...,...\}$

• $MCM(15,20)=.....$

$M(15)=\{...,...,...,...,...,...\}$ $M(20)=\{...,...,...,...,...,...\}$