Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

$x^2+y^2=r^2$.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

resultando:

$a=-\frac{D}{2}$

$b=-\frac{E}{2}$

$r=\sqrt{a^2+b^2-F}$

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$, la ecuación de la circunferencia es:

$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.$

Ecuación vectorial de la circunferencia

En el espacio vectorial R², la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:

$𝐫(\theta )=(R\cos (\theta ),R\mathrm{sen}(\theta ))$,

donde $\theta$ es el parámetro de la curva, además cabe destacar que $\theta \in [0,2\pi )$. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R³ esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R²) y r un real positivo, la ecuación vectorial

$\Vert 𝐱-𝐜\Vert =r$

representa una circunferencia de centro c y radio r. La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares

Circunferencia unitaria.

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como $(r,\theta )$

$r=c.$

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto $(s,\alpha )$ y el radio es $c$, la ecuación se transforma en:

$r^2-2sr\cos (\theta -\alpha )+s^2=c^2$

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:

$\{\begin{array}{cc}x=& a+r\cos t\\ y=& b+r\mathrm{sen}t\end{array}t\in [0,2\pi )$

donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

$\{\begin{array}{cc}x=& a+r\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\\ y=& b+r\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)\end{array}t\in \widehat{ℝ}$

donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.

Ecuación en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación $|z-c|=r$. En forma paramétrica puede ser escrita como $z=r{e}^{it}+c$.