Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Álgebra

Ecuaciones de segundo grado

Seguramente ya se ha visto como resolver ecuaciones de segundo grado en cursos anteriores la motivación ahora es recordarlo y ampliarlo si es posible.

La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:

$a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$

Siendo a, b y c números reales

Y obtenemos la solución mediante: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Al radicando se le llama discriminante y se le nota $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$. En función del signo del discriminante se tiene el número de soluciones reales de la ecuación, a saber:

• Si $\mathrm{\Delta }>0$ hay dos soluciones reales.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$ hay una solución reala.
• Si $\mathrm{\Delta }<0$ no hay solución real, pero si dos soluciones complejas.

Si la ecuación es incompleta, esto es si b=0 o c=0 no es necesario aplicar la fórmula anterior:

$a{x}^2+c=0\to$ se despeja $x^2$

$a{x}^2+bx=0\to x(ax+b)=0\to x=0,x=\frac{-b}{a}$

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable $x^2=y$ entonces la ecuación quedará como una de segundo grado $a{y}^2+by+c=0$

La resolvemos, y entonces desechamos las $y<0$ ya que no dan solución en las $x$ pero las positivas nos daran dos valores de $x$ $x=\pm \sqrt{y}$

Ejemplos

$x^4-7x^2+6=0\to \{x^2=y\}{y}^2-7y+6=0$

$y=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7\pm 5}{2}\to \{\begin{array}{c}y=1\to x=\pm \sqrt{1}=\pm 1\\ y=6\to x=\pm \sqrt{6}\end{array}$

Soluciones: $-1,1,-\sqrt{6},\sqrt{6}$

$x^4-3x^2-10=0\to \{x^2=y\}{y}^2-3y-10=0$

$y=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3\pm 7}{2}\to \{\begin{array}{c}y=-2\to \text{No existe solucion para x}\\ y=5\to x=\pm \sqrt{5}\end{array}$

Soluciones: $-\sqrt{5},\sqrt{5}$

$x^4-9x^2=0\to \{x^2=y\}{y}^2-9y=0$

$y(y-9)=0\to \{\begin{array}{c}y=0\to x=0\\ y=9\to x=\pm \sqrt{9}=\pm 3\end{array}$

Soluciones: $0,-3,3$

Ecuaciones con radicales

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciones que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.

Ejemplos

$\sqrt{3x-5}+1=x$

$\sqrt{3x-5}=x-1$ Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$3x-5=x^2-2x+1\to x^2-5x+6\to x_1=2x_2=3$

Comprobación: $\{\begin{array}{c}\sqrt{3\cdot 2-5}+1=\sqrt{1}+1=2\text{valida}\\ \sqrt{3\cdot 3-5}+1=\sqrt{4}+1=3\text{valida}\end{array}$

$\sqrt{2x-3}+\sqrt{x+7}=4$ Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)

$\sqrt{2x-3}=4-\sqrt{x+7}$ Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$2x-3=16+(x+7)-8\sqrt{x+7}$ Aislamos la raíz

$x-26=-8\sqrt{x+7}$ Se elevan al cuadrado los dos lados del igual

$x^2-52x+676=64(x+7)\to x^2-116x+228=0\to x_1=2x_2=114$

Comprobación $\{\begin{array}{c}{x}_1=2\to \sqrt{2\cdot 2-3}\sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9}=1+3=4\text{valida}\\ x_2=114\to \sqrt{2\cdot 114-3}+\sqrt{114+7}=15+11\ne 4\text{no valida}\end{array}$

Nociones básicas para la factorización de polinomios

La motivación de este apartado es la misma que la que se podría encontrar para la factorización de números; factorizar un número cualquiera es muy útil para calcular el mcm y el MCD además de para simplificar fracciónes o sacar factores de un radical. Factorizar polinomios nos servirá para simplificar fracciones algebraicas, hacer el mcm y el MCD de los polinomios, que también los tiene, y si alguno va a la universidad le serán muy útiles (por ejemplo para hacer transformadas). El concepto fundamental para factorizar polinomios es el de polinomio irreducible, esto es en el cuerpo de los números reales, un polinomio sin raíces reales. Se puede comprobar (con ayuda del cálculo diferencial, por ejemplo) que cualquier polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real, por tanto los polinomios irreducibles han de ser de grado par. Aplicando razonamientos sencillos con números complejos se puede deducir, además, que cualquier polinomio de grado par se puede expresar como producto de polinomios de grado dos. Por tanto, los polinomios irreducibles son los de primer grado y los de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Tenemos así determinados los equivalentes a los números primos en el caso de los enteros, en el conjunto de los polinomios con coeficientes reales de variable real.

Podemos ver que: $x^6-5x^5+3x^4-19x^3+30x^2=(x-2)x^2(x+3)(x^2+4x+5)$

$(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)$ es el polinomio factorizado. Un polinomio está factorizado cuando está expresado como productos de polinomios de menor grado posible es decir de la forma $x^n(x-a{)}^m(a{x}^2+bx+c{)}^r...$ es decir como producto de polinomios de primer grado, y de como máximo de segundo grado cuando no existen soluciones en los reales.

En el ejemplo $(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)\to 2,-3$ y $0$ serían raíces del polinomio.

Factorización de polinomios de segundo grado

Los polinomios de segundo grado $a{x}^2+bx+c$ se pueden factorizar de esta manera (teniendo en cuenta que tendrá como máximo 2 raíces reales):

• Si el polinomio tiene dos raices $x_{1}y{x}_2$ entonces $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Ejemplo

$3x^2+9x-30=3(x-2)(x+5)$

• Si sólo tiene una raíz $x_1$ entonces $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1{)}^2$

Ejemplo

$2x^2-28x+98=2(x-7{)}^2$

• Si no tiene ninguna raíz real, su descomposición constará de dos factores de grado 1 con coeficientes imaginarios.

Ejemplo

$x^2+4x+5$

Factorización de polinomios de grado mayor que dos

Imaginemos que queremos factorizar un polinomio de la forma $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ Para hacerlo no tenemos la ayuda de una fórmula general como en el caso de los polinomios de 2º grado, para hacerlo no queda más remedio que ir encontrando las raíces una a una:

• Si un polinomio tiene raíces enteras estas tienen que ser divisores del término independiente.
• Si $x_1$ es una raiz del polinomio entonces se divide $P(x)$ por $(x-x_1)$ obtenemos $Q(x)$ que es un grado menor y repetimos hasta llegar al grado menor posible (que siempre es 1 o máximo 2).

Para hacerlo más cómodo se emplea la regla de Ruffini.yii

Regla de Ruffini

Seguramente esto ya se ha visto anteriormente, por lo que aquí solamente lo refrescaremos.

Tenemos un polinomio como este $7x^4-5x^3-4x^2+6x-1$ y queremos dividirlo por $x-2$

$\begin{array}{cccccc}& 7& -5& -4& 6& -1\\ 2& & 14& 18& 28& 68\\ & 7& 9& 14& 34& 67\end{array}$

$2\cdot 7=14$ $-5+14=9$ $2\cdot 9=18$ $-4+18=14$ $2\cdot 14=28$ $6+28=34$ $2\cdot 34=68$ $-1+68=67$

El resultado significa que el cociente de la división $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34$ y el resto es $67$

Teorema del resto

Imaginemos que hacemos la división de un polinomio $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ por $(x-t)$ y nos da un resto que llamaremos $r$, bien pues si hiciesemos $x=t$ en el polinomio es decir $P(t)$ el resultado sería $r$ es decir $P(t)=r$ Eoo

Este resultado se puede extender a polinomios de grado cualquiera.

Demostración

$P(x)$ $x-t$ $r$ $C(x)$

$P(x)=(x-t)C(x)+r$ $P(t)=(t-t)C(t)+r=0\cdot C(t)+r=r$

Localización de las raíces enteras de un polinomio

Tenemos un polinomio $P(x)$ con raíces entera y queremos encontrarlas, para hacerlo tenemos que ir probando de dividirlo por $x-a$, pero ¿qué valor puede tomar $a$? pues tiene que ser un divisor del termino independiente.

Intuitivamente podemos ver que tenemos que conseguir el opuesto del termino idependiente para hacerlo no queda mas remedio que multiplicar algo por a, por eso es necesario que a sea un divisor del termino independiente, ya que el termino independiente tiene que ser multiplo de $a$.

Procedimiento para la factorización de un polinomio

Para factorizar un polinomio aplicaremos Ruffini sucesivamente hasta que nos quede un polinomio de segundo grado, cuando estemos en este punto aplicaremos la fórmula y obtendremos las dos últimas raíces o si $b^2-4ac$ es negativo sabremos que no lo podemos descomponer más

Ejemplo Tenemos el polinomio siguiente $3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2$ y queremos descomponerlo

• Primero sacamos $3$ y $x^2$ factores comunes:

$3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=3x^2(x^4-x^3-39x^2+109x-70)$

• Ahora aplicamos Ruffini, los divisores de $70$ son $1,-1,2,-2,5,-5,\text{etc.}$ Empezaremos probando con el $1$

$\begin{array}{cccccc}& 1& -1& -39& 109& -70\\ 1& & 1& 0& -39& 70\\ & 1& 0& -39& 70& 0\end{array}$

El resto es cero, fantástico, eso quiere decir que hemos encontrado una de las raíces.

$3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=3x^2(x^4-x^3-39x^2+109x-70)=3x^2(x-1)(x^3-39x+70)$

• Seguimos aplicando Ruffini, probamos con 1

$\begin{array}{ccccc}& 1& 0& -39& 70\\ 1& & 1& 1& -38\\ & 1& 2& -38& 32\end{array}$

El resto es diferente de cero con lo que tenemos que seguir probando, con el -1:

$\begin{array}{ccccc}& 1& 0& -39& 70\\ -1& & -1& 1& 38\\ & 1& -1& -38& 108\end{array}$

El resto vuelve a ser diferente de cero, probamos con 2:

$\begin{array}{ccccc}& 1& 0& -39& 70\\ 2& & 2& 4& 70\\ & 1& 2& -35& 0\end{array}$

Fantastico, ya hemos encontrado otra raíz con lo cual el polinomio quedará de la siguiente forma:

$3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=3x^2(x^4-x^3-39x^2+109x-70=$

$=3x^2(x-1)(x^3-39x+70)=3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)$

• Finalmente para encontrar las dos últimas raíces utilizamos la fórmula para resolver polinomios de 2º grado:

$x^2+2x-35=0\to x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-35)}}{2}=\frac{-2\pm 12}{2}=\{\begin{array}{c}{x}_1=-7\\ x_2=5\end{array}$

Vemos que $2^2-4\cdot (-35)=144>0$ con lo cual podemos descomponer el polinomio y que sus raíces son 5 y -7. Entonces:

$3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=3x^2(x^4-x^3-39x^2+109x^{-}70=$

$=3x^2(x-1)(x^3-39x+70)=3x^2(x-1)(x-2)(x^2+2x-35)=$

$=3x^2(x-1)(x-2)(x-5)(x+7)$

• Ya hemos descompuesto el polinomio. Ya que todos los factores son de primer grado

Resolución de ecuaciones por factorización de polinomios

Cuando un polinomio esta factorizado podemos encontrar las raíces facilmente, es decir podemos resolver ecuaciones de grado n.

Ejemplos

Queremos resolver la ecuación $3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2=0$ afortunadamente este es el mismo polinomio que en el apartado anterior con lo cual ya sabemos las soluciones, que son $x=1$ $x=2$ $x=5$ $x=-7$ $x=0\text{(doble)}$

Ahora queremos resolver $x^7-5x^6+3x^5-19x^4+30x^3$

Sacamos factor común $x^3$, aplicamos después Ruffini y encontramos las raíces 2 y -3 finalmente nos queda $(x-2)x^3(x+3)(x^2+4x+5)$ la ecuación $x^2+4x+5$ no tiene solución, por eso no podemos descomponer más. Las soluciones del polinomio son: $x=2$ $x=-3$ $x=0\text{(triple)}$ Como podemos ver aunque el polinomio es de grado 7 y debería tener 7 soluciones, dos de ellas no están porque hay una ecuación de segundo grado que no podemos descomponer.

Nota final

Aunque durante los dos últimos apartados se ha presentado los polinomios como fácilmente factorizables, no es así. Como norma general la raíz de un polinomio es un número no entero, 0,3242 por ejemplo, para encontrar estas raíces tiene que hacerse lo siguiente: Las soluciones racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros se encuentran entre los números $p/q$ donde p es uno de los divisores del término independiente y q uno de los divisores del coeficiente director.

Ejemplos

Hallar las raíces de $x^3-2x-4=0$. Los divisores del termino independiente serán, en este caso, 1, -1, 2, -2, 4, -4 y del coeficiente director 1, -1. Por tanto las posibles raíces son 1, -1, 2, -2, 4, -4 que introduciendolos en el polinomio nos dara que la solución es 2. Hallar las raíces de $2x^4+x^3+2x+1=0$. Ahora tenemos como divisores del término independiente 1, -1 y del coeficiente director 1, -1, 2, -2. De lo que tenemos como posibles soluciones 1/2, -1/2, 1, -1 e introduciendolas en el polinomio comprobamos que las soluciones son -1/2 y -1. El número de soluciones que faltan para correponderse con el grado de estas ecuaciones corresponde a soluciones de números complejos.

Aun con esto muchas veces tampoco podremos encontrar las soluciones de un polinomio como $x^4+7x^3+27x^2+55x+50$ ya que se trata de soluciones irracionales a las que solo nos podemos aproximar, o soluciones de números complejos

Fracciones algebráicas

Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)}$ y funcionan casi igual que las numéricas.

Simplificación

Al igual que con las numéricas podemos dividir el denominador y el numerador por el mismo polinomio y de esta manera simplificarla.

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P_1(x)\cdot D(x)}{Q_1(x)\cdot D(x)}=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$

Ejemplo

$\frac{5x^3+2x^2+3x}{7x^2+3x}=\frac{(5x^2+2x+3)\cdot x}{(7x+3)x}=\frac{(5x^2+2x+3)}{(7x+3)}$

Fracciones equivalentes

Son aquellas que al simplificarse dan la misma fracción o aquellas que al dividirlas entre si dan como resultado 1

Ejemplo

$\frac{x}{2x^2+5x}$ y $\frac{x-3}{2x^2-x-15}$ són equivalentes ya que las dos dan 1 al dividirse entre si o también se puede ver porque al simplificarse las dos dan $\frac{1}{2x+5}$

Reducción a común denominador

Supongamos que queremos sumar

$\frac{4x^2+3}{x}+\frac{2x^2-x-15}{x-2}$

Para hacerlo primero debemos reducir a común denominador, para hacerlo multiplicamos el denominador y el numerador de una por el denominador de la otra, esto es:

$\frac{(4x^2+3)(x-2)}{x(x-2)}+\frac{(2x^2-x-15)x}{x(x-2)}=$

$=\frac{(4x^2+3)(x-2)+(2x^2-x-15)x}{x(x-2)}=$

$=\frac{(4x^3+-8x^2+3x-6)+(2x^2-x-15)x}{x(x-2)}$

Suma resta multiplicación y división de fracciones algebraicas

• Suma (y resta): Ya hemos visto en realidad un ejemplo de suma de polinomios el metodo es

Ejemplo:

$\frac{2x^2+5x-1}{x^2+4}\cdot \frac{3x+2}{x^2+7x}=\frac{(2x^2+5x-1)\cdot (3x+2)}{(x^2+4)(x^2+7x)}=\frac{6x^3+19x^2+7x-2}{x^4+7x^3+4x^2+28x}$

• División: Se multiplica la fraccion dividendo por la inversa de la fracción divisor

Ejemplo:

$\frac{x-3}{x+5}:\frac{x-1}{x+2}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x+5)(x-1)}=\frac{x^2-x-6}{x^2+4x-5}$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son las que tienen la incógnita en el exponente. Para sacarlo de allí hay que expresar lado y lado del igual con una potencia de la misma base y si esto no se puede hacer entonces se recurre a los logaritmos, aun así hay algunas en las que deberemos usar el ingenio y otras (aunque aquí no veremos ninguna) no se pueden resolver analíticamente.

Ejemplos

$5^{6-x^2}=\frac{1}{125}$ Si factorizamos $125$ nos damos cuenta de que es $5^3$ y que por lo tanto $\frac{1}{125}=5^{-3}$ La cosa queda como sigue: $5^{6-x^2}=5^{-3}\to 6-x^2=-3\to x^2=9\to x=\pm 3$

$7^{2x^2-x-15}=1$ Ponemos el segundo miembro como potencia de $7$ es decir: $1=7^0$

$7^{x^2+2x-35}=7^0\to x^2+2x-35=0\to x=\frac{-2\pm \sqrt{4+140}}{2}=\{\begin{array}{c}{x}_1=-7\\ x_2=5\end{array}$

$5^{6-x^2}=3$ Al no poder escribir 3 como potencia de 5 debemos coger logaritmos

$(6-x^2)\log 5=\log 3\to 6-x^2=\frac{\log 3}{\log 5}\approx 0,6826\to x^2\approx 6-0,6826\approx 5,3174\to x\approx \pm 2,3059$

$-4\cdot 3^{x+1}+3^{2x}=-27$ Hacemos un cambio de variable $y=3^x\to \{\begin{array}{c}-4\cdot 3^{x+1}=-4(3\cdot 3^x)=-12y\\ 3^{2x}=y^2\end{array}$

$y^2-12y+27=0\{\begin{array}{c}y=3\to 3^x=3\to x=1\\ y=9\to 3^x=9\to x=2\end{array}$

Ecuaciones logarítmicas

Son las que tienen la x dentro de un logaritmo. Para resolverlas uno debe coger las propiedades de los logaritmos y utilizarlas para resolver la ecuación, muchas veces (aunque no veremos ninguna) no se pueden resolver analiticamente. Hay que comprobar la ecuación inicial

Ejemplos

$\log 2x+\log 5=2\to \log (2x\cdot 5)=\log 100\to \log (10x)=\log 100\to x=10$

$4{\log }_3(x+5)={\log }_{3}81\to {\log }_3(x+5{)}^4={\log }_3{3}^4\to x+5=3\to x=-2$

$2\log x=\log (x+2)\to \log x^2=\log (x+2)\to$

$\to x^2=x+2\to x^2-x-2=0\to \{\begin{array}{c}{x}_1=-1\text{ no es valida ya que no podemos hacer}\log -1\\ x_2=2\text{ valida}\end{array}$

Nota curiosa: Fijemonos que si la ecuación inicial hubiese sido $\log x^2=\log (x+2)$ las dos soluciones serían correctas.

Sistemas de ecuaciones

Se supone que el alumno ya está familiarizado con los sistemas de ecuaciones, por eso simplemente repasaremos los procedimientos y unos cuantos conceptos.

• Para que un conjunto de valores sea solución de una ecuación ese conjunto de valores debe cumplirla, por ejemplo para: $2x+5y-z^2=7$ una solución podria ser $x=1y=1z=0$ pero también $x=1y=\frac{1}{5}z=-2$

• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en las que siguiendo unos pasos podemos encontrar una solución común

• Un sistema de ecuaciones con más incognitas que ecuaciones suele tener infinitas soluciones

Ejemplos

$\{\begin{array}{c}x+2y=-13\\ \sqrt{3x+2y}=x-8\end{array}$

Lo resolveremos mediante substitución, tomamos la primera ecuación despejamos la y:

$y=\frac{-13-x}{2}$

Ahora substituimos y en la segunda ecuación:

$\sqrt{3x+2\left(\frac{-13-x}{2}\right)}=x-8$

Resolvemos la ecuación con una incognita, primero elevando al cuadrado los dos miembros

$3x-x-13=(x-8{)}^2\to 2x-13=x^2-16x+64\to x^2-18x+77=0\to$

$\to \{\begin{array}{cc}{x}_1=7\to y_1=\frac{-13-x_1}{2}=10& \text{ no valida}\\ x_2=11\to y_2=\frac{-13-x_2}{2}=12& \text{ valida}\end{array}$

$\begin{array}{c}\log x^3-\log y=6\\ \log (xy)=4\end{array}\}\to \begin{array}{c}3\log x-\log y=7\\ \log x+\log y=5\end{array}\}$

Aplicamos el metodo de reducción sumamos las dos ecuaciones:

$4\log x=12\to \log x=\frac{12}{4}=3\to \log y=5-\log x=2$

Por tanto si $\{\begin{array}{c}\log x=3\to x=1000\\ \log y=2\to y=100\end{array}$

$\{\begin{array}{c}4y=8x^2\\ y=12x-16\end{array}$

$4y=8x^2\to y=2x^2$

Resolvemos por igualación

$2x^2=12x-16\to 2x^2-12x-16=0\to \{\begin{array}{c}{x}_1=2\to y_1=8\\ x_2=4\to y_2=32\end{array}$

Sistemas de tres ecuaciones (método de Gauss)

El método de Gauss consiste en convertir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un sistema con una 1ª ecuación de tres incógnitas, una 2ª ecuación de dos incógnitas y, por último una 3ª ecuación de solo una incógnita. Por lo que se reduce sustancialmte la dificultad del problema.

Ejemplo

$\{\begin{array}{ccccc}2x& +3y& -7z& =& -1\\ 3x& +4y& -6z& =& 5\\ 5x& -2y& +4z& =& -7\end{array}$

En un primer paso, la primera ecuación se deja siempre igual, mientras que en las otras ecuaciones eliminamos el término de la x usando el método de la reducción con la primera ecuación.

$\{\begin{array}{ccccc}2x& +3y& -7z& =& -1\\ & -y& +9z& =& 13\\ & -19y& +43z& =& -9\end{array}$

Ahora no cambiaremos ni la 1ª ecuación ni la 2ª ecuación y anularemos el término y de la 3ª ecuación usando la reducción con la 2ª ecuación.

$\{\begin{array}{ccccc}2x& +3y& -7z& =& -1\\ & -y& +9z& =& 13\\ & & -128z& =& -256\end{array}$

Ahora la resolución del sistema se convierte en una trivialidad. De la 3ª ecuación obtenemos z=2, que introducimos en la 2ª ecuación para hallar y=5, y por último introducimos z e y en la 1ª ecuación para hallar x=-1.