Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Ecuación General de la Recta

Ecuación de la recta en el plano

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

En un plano cartesiano, podemos representar una recta mediante una ecuación general definida en dicho plano ya sea mediante coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas coordenadas.

Pendiente y ordenada al origen

Dada una recta mediante un punto, $P=(x_0,y_0)$, y una pendiente $m$:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

$y-y_0=m(x-x_0)$

donde $m$ es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.

Ejemplos

a) La ecuación de la recta que pasa por el punto $A=(-8,-8)$ y que tiene una pendiente de $m=2$ es:

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-(-8)=2(x-(-8))$

$y+8=2(x+8)$

$y+8=2x+16$

$y-2x+8-16=0$

$y-2x-8=0$

b) La ecuación de la recta que pasa por el punto $A=(2,-4)$ y que tiene una pendiente de $m=-\frac{1}{3}$:

$x+3y+10=0$

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, $y-y_1=m(x-x_1)$:

$y-b=m(x-5$ $y-b=Bx$ $y=mx+b$

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos $b$.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (ecuación simétrica)

Recta que corta el eje ordenado en $b$ y la abscisa en $a$.

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Ecuación general de la recta

La ecuación general de una recta esta dada por la expresión $Ax+By+C=0$ con $A,B,C\in ℝ$ y $B\ne 0$,, donde $\frac{-A}{B}$ representa la pendiente de la recta y $\frac{-C}{B}$ señala la ordenada en el origen, datos suficientes para representar cualquier recta en el plano cartesiano.

Ecuación normal de la recta (primera forma)

La forma normal de la recta (Ecuación de Hesse):

$x\cos \omega +y\sin \omega -d=0$

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo entre la perpendicular a la recta y la parte positiva del eje de ordenadas.

Si en lugar del ángulo de la normal ω se emplea el ángulo de la recta α, entre la recta y el eje de las ordenadas:

$x\sin \alpha -y\cos \alpha +d=0$

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo alfa α es el ángulo entre la recta y la parte positiva del eje de ordenadas, cuya tangente expresa el valor de la pendiente de la recta.

Ecuación normal de la recta (segunda forma)

$\frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^2+B^2}}=0$

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

Rectas que pasan por un punto

Rectas que pasan por el punto: (2,4).

Para determinar las rectas del plano que pasan por el punto $P=(x_0,y_0)$ se usa la ecuación

$y=m(x-x_0)+y_0$ donde m toma cualquier valor real.

Recta que pasa por dos puntos

Si pasa por dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, la ecuación de la recta puede expresarse como:

$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$

Fórmulas para hallar "x" e "y" en una recta dada por coordenadas.

Tenemos una recta $\overline{AB}$ dada por dos puntos $A(x_A;y_A)$$B(x_B;y_B)$, de la cual queremos hallar $x$ y $y$ a lo largo de la misma. Obtenemos la pendiente $m_{\overline{AB}}$y utilizamos las fórmulas respectivas para hallarlas:

$m_{\overline{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$x=\frac{y-y_A}{m_{\overline{AB}}}+x_A$

$y=m_{\overline{AB}}(x-x_A)+y_A$

Donde:

$x$ y $y$: ordenada y abcisas a hallarse;

$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$: ordenadas y abcisas respectivas de los puntos A y B de la recta $\overline{AB}$;

$m_{\overline{AB}}$: pendiente de la recta $\overline{AB}$.

Fórmulas para hallar el punto de intersección de dos rectas dadas por sus puntos de coordenadas.

Para obtener las coordenadas del punto de intersección $(x_I;y_I)$ de dos rectas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$, podemos utilizar la siguientes fórmulas.

$x_I=\frac{(m_{\overline{AB}}*x_A)-y_A-(m_{\overline{AB}}*x_C)+y_C}{m_{\overline{AB}}-m_{\overline{CD}}}$

$y_I=m_{\overline{AB}}(x_I-x_A)+y_A$

Donde:

$x_I$ y $y_I$: ordenada y abcisas de la intersección.

Recta que no pasa por el origen

En coordenadas polares una recta que pasa a una distancia d > 0, tiene una ecuación dada por: Plantilla:Ecuación Donde la pendiente de la recta viene dada por $1/\tan {\theta }_0$.

Rectas notables

Rectas perpendiculares.

• La ecuación de una recta vertical responde a la ecuación general $x=x_v$ (constante).

• La ecuación de una recta horizontal responde a la ecuación general $y=y_h$ (constante).

• Una recta trigonoidal que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición b = 0, siendo su ecuación: $y=(m)(x)$.

• Recta secante

• Recta tangente

• Dos rectas cualesquiera:

$y=\left(m_1\right)\left(x\right)+b_1$

$y=\left(m_2\right)\left(x\right)+b_2$

serán paralelas si y solo si $m_1=m_2$. Además, serán coincidentes cuando: $b_1=b_2$

serán perpendiculares si y solo si $m_1=-1/m_2$, es decir: $(m_1)(m_2)=-1$

Rectas en el plano como espacio vectorial y afín

Mediante dos puntos del plano afín

Dado dos puntos en el plano, P y Q, sobre una recta, se puede describir cada punto de ésta (es decir toda la recta) mediante la ecuación:

$P+\lambda \overrightarrow{PQ}$ donde $\lambda$ puede tomar cualquier valor.

Ejemplo

Dados $P=(1,2)$ y $Q=(3,5)$, entonces la recta son los puntos $(x,y)$ tales que $x=1+\lambda (3-1)$ y $y=2+\lambda (5-2)$.

Mediante un punto y un vector

Dado un punto y un vector en el plano, P y $\overrightarrow{v}$, queda totalmente definida una recta mediante la ecuación:

$P+\lambda \overrightarrow{v}$ donde $\lambda$ puede tomar cualquier valor.

Ejemplo

Dados $P=(5,-2)$ y $\overrightarrow{v}=(3,1)$(llamado vector director), entonces la recta son los puntos $(x,y)$ tales que $x=5+\lambda (3)$ y $y=-2+\lambda (1)$.

Rectas notables

• La ecuación de una recta vertical poseería un vector director del tipo $\overrightarrow{v}=(0,1)$.
• La ecuación de una recta horizontal poseería un vector director del tipo $\overrightarrow{v}=(1,0)$.
• Una recta por el origen, es una recta que pasa por el origen de coordenadas con $P=(0,0)\in r$.
• Dadas dos rectas cualesquiera

$P+{\lambda }_1\overrightarrow{v}$

$Q+{\lambda }_2\overrightarrow{w}$

serán paralelas si y solo si $\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{w}$.

serán perpendiculares si y solo si $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ son perpendiculares, es decir su producto escalar es cero.

Rectas como producto escalar

Toda recta ya sea de forma implícita, explícita o vectorial se puede expresar como producto escalar de vectores:

$(x,y)=(b_x,b_y)+\lambda (u_x,u_y)\iff \lambda =\frac{x-b_x}{u_x}y\lambda =\frac{y-b_y}{u_y}\iff$ $\frac{x-b_x}{u_x}=\frac{y-b_y}{u_y}\iff$ $\frac{x}{u_x}+\frac{-y}{u_y}=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}\iff$ $(x,y)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{u_x}\\ \frac{-1}{u_y}\end{array}\right)=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}$

es decir, renombrando las constantes:

$(x,y)\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=c$

• Si $(x,y)\perp (a,b)\Rightarrow c=0$ por tanto el vector $(a,b)$ es perpendicular a la recta $ax+by=0$ y a sus vectores directores, y por tanto a todas sus paralelas.