Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist 144 = 12 ⋅ 12 eine Quadratzahl.
Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.
Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen.
Das Kleine Einmaleins (auch 1×1 oder 1mal1) ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die sich aus der Kombination zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10 ergeben, meist in Tabellenform.
Das Kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt.
Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.
---
Das Kleine Einmaleins wird beim schriftlichen Multiplizieren zum Auffinden des Produkts der einzelnen Ziffern beider Faktoren verwendet. Hierfür werden die Produkte aus den Ziffernkombinationen 0 ⋅ 0 bis 9 ⋅ 9 benötigt, wobei die Produkte mit einem Faktor 0 in der Darstellung meist weggelassen werden.
Die folgende Tabelle stellt das Kleine Einmaleins dar.
*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Wenn man diese Aufgaben beherrscht, kann man alle Multiplikationsaufgaben mit einstelligen Zahlen lösen.
4 * 6 = 6 * 4
Man kann auch alle dazugehörigen Divisionsaufgaben lösen.
Ein Ausdruck ist wie ein Term eine formale Zeichenkette.
Der Ausdruck „4 * 5“ steht in Klammern.
(4 * 5) + 3
---
Term = Ausdruck
In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann.
In der Praxis wird der Begriff „Term“ häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden.
Grob kann man sagen, dass ein Term eine Seite einer Gleichung oder Relation, z. B. einer Ungleichung, ist. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sie besteht aus Termen.
Das Assoziativgesetz (lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.
5 *(2 + 4) = 5 * 2 + 5 * 4 //(Nicht vergessen: Punktrechnung geht vor Strichrechnung)
5 *(2 + 4) = 10 + 20
5 *(2 + 4) = 30
---
Das Distributivgesetz gilt für die Kombination der Addition mit der Multiplikation, wenn die Summe in Klammern steht.
---
Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz (lat. distribuere „verteilen“) ist eine mathematische Regel, die angibt, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten.
---
Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.
Das Distributivgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz grundlegende Regeln der Algebra.
---
Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes (Verteilungsgesetz) zum Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes als Ausmultiplizieren.
---
ausmultiplizieren: a *(b + c) = a * b + a * c
ausklammern: a * b + a * c = a *(b + c)
Die gegenteilige Operation von Ausmultiplizieren ist das Ausklammern.
So wie sich Addition und Subtraktion gegenseitig aufheben, so heben sich auch Ausmultiplizieren und Ausklammern gegenseitig auf.
Die Umwandlung einer Summe in ein Produkt durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausklammern oder Herausheben bezeichnet.
Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen
Als Beispiel für das Distributivgesetz können die zweistelligen Verknüpfungen der Addition ( + ) und der Multiplikation ( ⋅ ) von Zahlen dienen.
Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:
(linksdistributiv)
(rechtsdistributiv)
In Worten:
Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).
---
Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.
Man will 6·16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das schriftliche Multiplizieren beruht auf dem Distributivgesetz.
---
2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3)
x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z )
---
235 × 99 = 235 × (100 – 1) = 23500 – 235 = 23265
Der Flächeninhalt der beiden Rechtecke zusammen (blau und rot) beträgt c *(a + b) und setzt sich aus der Summe der beiden kleineren Rechtecke zusammen. Wie man der Zeichnung entnimmt hat das blaue Rechteck den Flächeninhalt c * a und das rote Rechteck den Flächeninhalt c * b.
Wenn Variablen multipliziert werden, dann wird das Multiplikationszeichen meist weggelassen.
Malzeichen
a * b = ab
Auch wenn Variablen mit einer Zahl multiplizeirt werden, wird das Multiplikationszeichen meist weggelassen. Und die Zahl wird gewöhnlich vor die Variable geschrieben.
12 * a = 12a
Wenn aber zwei Zahlen multiplizeirt werden, dann kann das Multiplikationszeichen NICHT weggelassen werden.
3 * 4 ≠ 3 4 //(Denn 3 4 kann man mit 34 verwechseln.)
ungleich
Soll die Ungleichheit zweier Zahlen dargestellt werden, so wird ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen ( ≠ ) eingesetzt.
Ein Punkt ist ein grundlegendes Element der Geometrie. Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor.
Von Oskar Perron stammt die folgende Bemerkung: „Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“
---
die Gerade
die Strecke
Grüne Linie: Gerade. Eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie nennt man eine Gerade. Blaue Linie: Strecke. Eine Strecke (auch Geradenabschnitt oder Geradenstück) ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird - Strecke PQ; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Rote Linie: Auf einer Geraden liegen die Punkte A und B.
Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind.
Punkte werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet.
Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
kennzeichnen = bezeichnen
Auf einer Geraden (g) liegen die Punkte A und B.
Die Strecke zwischen den Punkten A und B wird mit einem Strich über beiden Buchstaben bezeichnet.
(lies: Strecke A B)
Manchmal werden die beiden Punkte der Strecke auch in eckige Klammern geschrieben: [AB] (lies: Strecke A B); statt dem Strich über den beiden Endpunkten der Strecke AB.
Zeichne eine andere Gerade h, die auch durch diesen Punkt geht!
---
Geraden werden vorzugsweise mit dem Kleinbuchstagen g benannt. („g“ wie Gerade)
Punkte werden vorzugsweise mit dem Großbuchstaben P benannt. („P“ wie Punkt)
Wenn man mehrer Geraden oder Punkte hat geht das natürlich nicht. Für die nächste Gerade wird dann oft der nach „g“ folgende Buchstabe „h“ genommen. Bei mehreren Punkten fängt man dann aber lieber bei „A“ an.
Ein Würfel ist ein regelmäßiger geometrischer Körper mit sechs quadratischen Flächen, bei dem alle Winkel 90 Grad betragen.
Ein Würfel ist aber auch ein Spielgerät, in der Form eines regelmäßigen geometrischen Körpers mit Symbolen (meist Zahlen) auf den Seiten.
Es gibt auch Eiswürfel oder Zuckerwürfel.
Zucker in Form von Würfeln wird als Würfelzucker bezeichnet. Wie viel Zucker möchten Sie! - Zwei Stück bitte bitte. (ODER: Zwei Stück Würfelzucker bitte.)
Eiswürfel haben in Wirklichkeit meist die Form eines Quaders oder ein noch komplizierter Form, damit man sie aus der Eiswürfelform raus bekommt.
---
Quader
Die Kanten eines Quaders kann man als Länge, Breite und Höhe betrachten.
Das Volumen (V) errechnet sich aus Länge mal Breite mal Höhe.
V = L x B x H
Das Gleiche gilt für einen Würfel.
Weil beim Würfel aber alle Kanten gleich lang sind (L = a; B = a; H = a) kann man beim Würfel das Volumen noch einfacher errechnen.
Im normalen Alltag und in der Schulmathematik haben wir einen 3-dimensionalen Raum.
dreidimensional
drei Dimensionen
Deshalb hat ein Quader drei Maße: Länge, Breise, Höhe.
Dieser dreidimensionale Raum wurde von über 2000 Jahren vom griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria untersucht. (Alexandria in Ägypten war damal griechisch.)
In der modernen Mathematik gibt es noch andere, komplizierte Zauberräume über die wir hier nicht sprechen werden.
Der normale dreidimensionale Raum wird als „Euklidischer Raum“ bezeichnet und die normale Geometrie als „Euklidische Geometrie“. „Normal“ bedeutet hier „Schulmathematik“.
Dimension ist die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung in einem bestimmten Raum bezeichnet.
Dimension ist die Anzahl der Freiheitsgrade einer Position in einem bestimmten Raum bezeichnet.
Ich kann mich im „Euklidischen Raum“ in 3 Dimensionen bewegen: nach oben (bzw. unten), nach vorne (bzw. hinten), nach rechts (bzw. links).
---
eine Dimension
Ein Punkt auf einer Geraden kann sich nur nach rechts oder links bewegen. (Wenn er sich nach oben bewegen würde, dann wäüre er ja nicht mehr auf der Geraden.)
Der Punkt hat im eindemensionalen Raum also nur die Freiheit (= Möglichkeit) sich in eine Richtung zu bewegen. Rechts (bzw. links) zählt als eine Richtung - plus oder minus.
---
zwei Dimensionen
Ein Punkt auf einer Ebene (zum Bsp. auf einer Tischplatte) hat die Möglichkeit sich in zwei Richtungen (Dimensionen) zu bewegen. nach rechts (bzw. links) oder nach vorn (bzw. hinten). Er kann aber nicht nach oben bewegt werden, denn dann ist er nicht mehr in der Ebene (nicht mehr auf der Tischplatte).
Bei einen Punkt, der sich von links vorn nach rechts hinten bewegt, kiönnen wir uns die Bewegung als Summe einer Seitbewegung (nach rechts) und einer Bewegung nach hinten vorstellen.
Man kann sich auch noch einfacher vorstellen, dass sich der Punkt erst zu Seite bewegt und dann erst nach hinten.
Wir können uns das mit dem eindimensionalen oder zweidimensionalen Raum nur vorstellen, denn unser Raum ist in Wirklichkeit dreidimensional.
Ein Punkt im Zimmer (oder in einem Quader) kann sich in drei Richtungen bewegen: nach oben (bzw. unten), nach vorne (bzw. hinten), nach rechts (bzw. links).
---
Plotter
Freiheitsgrade ist hier als mögliche Bewegung in eine Richtung zu verstehen.
Wir können uns das wie Schienen für einen Zu vorstellen.
Der Zug hat auf seinen Schienen nur einen Freiheitsgrad: Fahren (bzw. anhalten und in die Gegenrichtung fahren). Aber er kann nie weiter rechts (bzw. links) von der Schiene fahren. Auch nicht höher (bzw. tiefer).
Eine Ebene hat zwei Freiheitsgrade: zur Seite (rechts/links) und nach hinten (bzw. vorne).
Eine Ebene ist zweidimensional.
Beispielsweise realisiert dieser Plotter (ein spezieller großer Drucker) die zweidimensionale Bewegung mit Hilfe von zwei rechtwinkligen Schienen. Der Stift steckt dor, wo der schwarze Punkt ist. Soo der Stift nach vorne und hinten (hier im Bild oben und unten) gefahren werden, dann bewegt er sich auf der langen Mittelschiene. WEnn aber der Stift nach rechts (bzw. llinks) gefahren werden soll, dann bewegt sich die gesamte Mittelschiene mit dem Stift auf den Stützschienen am vorderen und hinteren Geräterand (im Bild: unterer und oberer) Geräterand.
Die zweidimensionale Bewegung wird am Plotter also durch zwei Schienensysteme realisiert, die rechtwinklig zueinander stehen.
In einem eindimensionalen „Raum“ gibt es nur die Bewegung in eine Richtung (vor oder zurück). Beispiel: Bewegung auf einer Linie oder einer Schiene.
In einem zweidimensionalen „Raum“ gibt es nur die Bewegung in zwei Richtungen (vor oder zurück; und senkrecht dazu: hin und her). Beispiel: Bewegung auf einer Ebene; Bewegung eines Plotters.
In einem dreisimensionalen Raum (diesmal schreiben wir Raum ohne Anfürhungsstriche, denn es ist ein echter Raum. Ein eindimensionaler „Raum“ ist ja in Wirklichkeit gar kein echter Raum, denn er existiert nur in unserer Vorstellung.) - also noch mal:
In einem dreisimensionalen Raum gibt es die Bewegung in drei Richtungen. Beispiel: Zimmer, Weltraum, Würfel.
Ein Portalkran kann seinen Haken in allen Drei Dimensionen bewegen.
Wie ein Plotter kann er auf der Mittelbrücke und auf den beiden Seitenschienen zweidimensional in der Ebene bewegt werden. Und zusätzlich kann er seinen Haken runterlassen oder hochziehen - das ist dann die 3. Dimension.
Raumzeit oder Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet die Vereinigung von Raum und Zeit in einer einheitlichen vierdimensionalen Struktur. Sie ist in der Relativitätstheorie dargelegt.
---
Wenn ich in einem dreidimensionalen Raum drei Zahlen angebe, dann ist der Punkt genau definiert, er ist exakt zu finden.
Aber bei sehr hohen Geschwindigkeiten (fast Lichtgeschwindigkeit) zeigt sich, dass Zeit und Ort eines Ereignisses sich stets gegenseitig bedingen.
Für Nichtmathematiker ist es sehr schwer sich einen vierdimensionalen Würfel vorzustellen.
Wenn wir aufschreiben: a * b * c * d * g = V dann können wir auch das Volumen im sechsdimensionalen Raum ausrechnen. Man kann sich das zwar nicht mehr vorstellen, aber mathematisch ist es korrekt.
In der Mathematik ist eine Linie ganz schmal. Ganz ganz schmal. Sie hat die Breits Null. Sie hat in der Breits keine Ausdehnung, sondern nur in der Länge.
Aber wie können wir dann eine Linie zeichnen? Wenn wir eine ganz feine Linie mit dem Bleichstift zeichnen, dann hat sie doch eine Breite, wenn auch ganz ganz wenig.
Ja, die gezeichnete Linie hat eine Breite, aber die mathematische Linie hat keine Breite. Unsere Zeichnung ist falsch. Weil wir eine Linie nicht mit Null Breite zeichnen könenn zeichnen wir sie eben etwas breiter. Aber die wirkliche Linie, von der wir in der Mathematik sprechen hat keine Breite.
Eine Linie hat nur eine Ausdehnung in einer Dimension (z. B. nach rechts bzw. links).
---
Wie groß ist Ein Punkt?
Ein Punkt in der Mathematik hat keine Ausdehnung - nicht mal in einer Dimension. Ein Punkt hat Null Ausdehnung. Wir müssen uns einen Punkt mit Null Ausdehnung vorstellen. Zeichnen können wir das nicht. Aber wir können es rechnen.
nähern
annähern
Die Zeichnung unseres Punktes und unserer Linie nähert sich nur der mathematischen Vorstellung von einem Punkt und einer Linie an.
Im berühmten Roman „Flatland“ (engl. für Flachland) leben die Bewohner in einer flachen, also zweidimensionalen Welt, deren Bewohner die Gestalt einfacher geometrischer Formen haben - Strich, Dreieck, Kreis. Von der Zeit betrachtet sind Linien und Dreieck nicht von allen Blickwinkeln gleich lang.
Stellen wir uns aus Draht gebogene Kreise, Dreiecke und Striche vor, die auf einer Tischplatte liegen (unsere zweidimensionalen Ebene). Für uns mit dem dreidimensionalen Raum ist es kein Problem Striche von Kreisen zu unterscheiden. Aber fürdie Bewohner von Flatland wird der Unterschied erst sichtbar, wenn sie um die Figuren („Personen“) rumgehen. Dann bleiben Kreis immer gleich groß, während Strich aus manchen Blickrichtungen zu Punkten zusammenschrumpfen. Auch Dreieck verkleinern sich dabei etwas.
Das Buch Flatland wird vom Erzähler in der Ich-form erzählt.
In einem Traum besucht der Erzähler das eindimensionale Linienland, eine Welt, deren Bewohner nur unterschiedlich lange Strecken auf einer Geraden sind, wobei ihre Länge ihre gesellschaftliche Stellung ausmacht.
Vergeblich versucht er den König von Linienland davon zu überzeugen, dass es noch eine weitere Dimension gibt.
Ein weiterer Traum führt ihn in das nulldimensionale Punktland, wo er nichts als einen nulldimensionalen Punkt sieht, der nur sich selbst kennt und sich in Selbstgesprächen in den höchsten Tönen lobt.
---
Zurück in seiner zweidimensionalen Welt erscheint dem Erzähler eine Kugel, ein Gast aus unserer dreidimensionalen Welt. Erst nach langer Mühe gelingt es der Kugel, das Quadrat von der Existenz der dritten Dimension zu überzeugen, und sie nimmt es zu einem Rundflug über seine zweidimensionale Heimat mit.
Der nun zur vollen Erkenntnis der Dimensionalität gelangte Erzähler übertrifft daraufhin die Kugel, seinen Lehrer, darin, indem er sogar die Denkbarkeit vier- und höherdimensionaler Welten beschreibt, was die Kugel verärgert, die ihn deshalb zurück in seine Welt stößt
---
Was ist wenn Gott in der 4. Dimension lebt und wir ihn deshalb nicht sehen können. (Beispiel: Ein Dreieick, dass ich aus seiner Ebene rausheben ist in der Ebene verschwunden.
Zwei Personen betreten einen leeren Raum. Etwas später gehen drei Personen aus diesen Raum raus.
Was denkt ein Mathematiker jetzt?
Eine Person muß den Raum betreten, damit er wieder leer ist.
---
Es wird Zeit, dass wir die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen verlassen und in der Menge der ganzen Zahlen rechnen. Denn die ganzen Zahlen schließen auch die negativen Zahlen mit ein.
_page_4.png){kind=link}