Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Cuadrática

Definición

Una Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática es toda ecuación de la forma

$a{x}^2+bx+c=0$

donde $a,b,c$ son números reales y $a\ne 0$.

Una ecuación cuadrática representa, gráficamente, a una parábola.

La orientación de la parábola va a depender del signo que tenga el coeficiente $a$.

Los casos son:

Orientación Parabóla

La parábola que representa a una ecuación de segundo grado tiene los siguientes elementos asociados:

Vértice

El vértice es el punto mínimo o máximo de la parábola (dependiendo de la orientación que ésta tenga), y la fórmula para encontrarlo es la siguiente:

$V=(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

Raíces

Las raíces (o ceros o soluciones) de una parábola son los puntos donde la parábola corta al eje $X$.

La fórmula para encontrar dichos puntos es la siguiente:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

El número $\mathrm{△}=b^2-4ac$ se llama discriminante, y nos indica el número de raíces que va a tener una ecuación de segundo grado.

Hay tres casos:

• Si $\mathrm{△}>0$, hay dos raíces
• Si $\mathrm{△}=0$, hay una raíz
• Si $\mathrm{△}<0$, no hay raíces

Gráficamente, para una parábola asociada a una ecuación del tipo $a{x}^2+bx+c=0$, la situación se ve de la siguiente forma:

Casos $a>0$

Casos $a<0$

Ejemplo

Encontrar el vértice, las raíces y dibujar la gráfica de la parábola asociada a la ecuación cuadrática

$(1+x{)}^2+(2+x{)}^2=(3-x{)}^2$

Sol: Para las raíces tenemos que

Archivo:ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO, EJERCICIO 8.webm

Los coeficientes son los valores $a=1,b=12,c=-4$.

Reemplazando en la fórmulas del vértice tenemos que

$\begin{array}{ccc}V& =& (-\frac{12}{2(1)},\frac{4(1)(-4)-(12{)}^2}{4(1)})\\ \to V& =& (-6,-40)\end{array}$

El gráfico es:

Ejemplo Parábola

Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios.