Matemáticas/Números/Racionales/Representación decimal

Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:

• Exacta o decimal finito: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

$\frac{8}{5}=1,6$

• Periódica pura o decimal finito periódico: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{7}& =& 0,142857142857\dots \\ & =& 0,\overline{142857}\end{array}$

• Periódica mixta o decima finito semiperiódico: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{60}& =& 0,01666\dots \\ & =& 0,01\bar{6}\end{array}$

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

$\begin{array}{c}0,1428571\dots \\ 7\overline{)10}\\ 30\\ 20\\ 60\\ 40\\ 50\\ 10\\ ⋮\end{array}$

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: Léase el artículo entero en Wikipedia:Número Periódico

• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo: $34,65=\frac{3465}{100}$
• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: $15,3434\dots =\frac{1534-15}{99}$
• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre $a$ y $b$, donde $a$ es el número escrito sin la coma, y $b$ es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número $12,345676767\dots$ entonces $a=1234567$ y $b=12345$, por lo que el número buscado será $\frac{1234567-12345}{99000}$.