Transwiki:Calculo diferencial solucionario:Parciales

Presentación

En este lugar encontrará los ejercicios que han sido utilizados en los diferentes parciales. Tras el planteamiendo de cada punto y su valor se describen los pasos generales involucrados en la resolución del mismo y el peso de dichos pasos dentro del procedimiento general a fin de aclarar la importancia de ellos en encontrar la solución.

Tercer Parcial (Julio 8 de 2004)

Primer Punto

El $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{1}-1}$ es: (valor 10 pts)

a. 0

b. 1

c. 3/2

d. 2/3

e. No existe

Pasos para la solución y peso de cada uno

• Evaluar directamente y encontrar que es indeterminado (2 pts)
• Racionarlizar y Factorizar una diferencia de cuadrados (2 pts)
• Multiplicar y factorizar una diferencia de cubos (4 pts)
• Calcular el límite despues de haber hecho las dos factorizaciones (2 pts)

Segundo Punto

Las asintotas verticales y horizontales de $y=\frac{x^2+2x-8}{x^2-4}$ son: (Valor 10 pts) Pasos para la solución y peso de cada uno

• Para las asíntotas verticales:
  • Encontrar los valores en que el límite de la función tiende a infinito. (En este caso, determinar las raíces del denominador). (2 pts)
  • Evaluar el límite en cada raíz, para determinar dónde se puede factorizar y cálcular y dónde efectivamente es infinito. (4 pts)

• Para las asíntotas horizontales:
  • Evaluar el límite al infinito de la función (4 pts).

Tercer Punto

Dibuje la función $f$ que satisfaga las siguientes condiciones (Valor 15 pts)

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-2$ $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=1$ $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=3$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=4$

Pasos para la solución y peso de cada uno

• A partir de los límites infinitos y al infinito dibujar las asíntotas (3 pts)
• Usando los límites a izquierda y derecha de cero determinar saltos y "huecos" en cero (4 pts).
• Dibujar la función que "tienda" hacia las asintotas y satisfaga las condiciones de acercarse a los huecos (8 pts).

Cuarto Punto

Para qué valores de $a$ y $b$, $f$ es continua en todos los reales (Valor 15 pts).

$f(x)=\{\begin{array}{ccc}\frac{1-Cosx}{x},& \text{si}& x<0\\ x^2+ax+b,& \text{si}& 0\le x\ge 2\\ \frac{ax}{x+1},& \text{si}& x>2\end{array}$

• Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=0 (3 pts)
• Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=2 (3 pts)
• Comparar las ecuaciones objenidas igualando límites y despejar $a$ y $b$ (3 pts)
• Justificar el por qué de la evaluación del límite de 1-Cos(x)/x, cuando x tiende a 0 (4 pts).
• Justificar el por qué de la evaluación del límite del polinomio (1 pto).
• Justificar el por qué de la evaluación del límite del cociente (1 pto).