Análisis matemático/Funciones

Aplicaciones

Una aplicación es una relación entre dos conjuntos, a uno lo llamaremos "de partida" o "dominio" y al otro "de llegada" o "codominio". Esta relación tiene un particularidad, tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo uno del conjunto de llegada.

Ejemplos:

Sean los conjuntos $A$ y $B$ siguientes:

$A=\{1,2,3\}$

$B=\{4,5\}$

Ejemplo: 1:

$f:A\to B=\{(1,4),(2,5),(3,5)\}$

en forma cartesiana

$\begin{array}{cccc}5& & \times & \times \\ 4& \times \\ & 1& 2& 3\end{array}$

La aplicación $f$ tiene como dominio al conjunto $A$ y como codominio al conjunto $B$. Esta aplicación está bien definida, pues a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde solo uno del conjunto de llegada. (Específicamente: a 1 le corresponde 4, a 2 y a 3 les corresponden 5).

Ejemplo: 2:

$g:B\to A=\{(4,1),(5,2)\}$

en forma cartesiana

$\begin{array}{c}3\\ 2& & \times \\ 1& \times \\ & 4& 5\end{array}$

Esta aplicación $g$ tiene como dominio al conjunto $B$ y como codominio al conjunto $A$. Como vemos, no a todo elemento del conjunto $A$ le corresponde un elemento del conjunto $B$, cuando esto sucede se dice que la función no es sobreyectiva o no suryectiva (sur viene del francés y significa sobre). En ciertos países se utiliza también la palabra suprayectiva. Volveremos con el concepto de sobreyectividad más tarde.

Ejemplo: 3:

$h:B\to A=\{(4,1),(4,2),(5,3)\}$

en forma cartesiana

$\begin{array}{ccc}3& & \times \\ 2& \times \\ 1& \times \\ & 4& 5\end{array}$

En este caso, $h$ no es una aplicación pues a un elemento del dominio (al 4), le corresponden dos valores del codominio (1 y 2).

Ley de una aplicación

Si bien una aplicación puede ser definida a través de un conjunto de pares ordenados, esto puede ser incómodo si hablamos de conjuntos grandes. Por eso se suele definir una aplicación a través de una ley.

Ejemplos:

$\begin{array}{cccc}f:& \mathbb{N}& ⟶& \mathbb{N}\\ & x& ⟼& y=2\cdot x\end{array}$

Esta aplicación tiene como dominio y codominio los números naturales, y lo que hace es asignar a cada número su doble. Si lo vieramos como un conjunto de pares ordenados, sería de la siguiente manera:

$f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),\dots \}$

en forma cartesiana

$\begin{array}{ccccc}8& & & & \times \\ 7\\ 6& & & \times \\ 5\\ 4& & \times \\ 3\\ 2& \times \\ 1\\ & 1& 2& 3& 4\end{array}$

Los $\dots$ muestran que siguen indefinidamente (hay infinitos pares). La cardinalidad de este conjunto es ${\mathrm{\aleph }}_0$.

Funciones

Dentro de las aplicaciones hay un conjunto particular que es el que es objeto de estudio del análisis matemático, las funciones. Las funciones son aplicaciones cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales o complejos.