Matemáticas/Álgebra/Ecuaciones/Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado completa es aquella que tiene expresión canónica general:

$a{x}^2+bx+c=0,\text{para}a\ne 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

Deducción de las soluciones

Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (también de los grados tercero y cuarto) consiste en aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a{x}^2+bx+c=0$, el cambio de variable se efectúa mediante $x=t+n$.

Aplicando el cambio de variable anterior se obtiene la ecuación $a(t+n{)}^2+b(t+n)+c=0$

Desarrollándola queda $a{t}^2+(2an+b)t+a{n}^2+bn+c=0$ (1).

Ahora se debe reducir la ecuación obtenida a un caso conocido del cual se conozca su solución. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2=K$ se resuelven directamente extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos, cuya solución general es $x=\pm \sqrt{K}$.

Para transformar la ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero se debe forzar que $2an+b=0$, es decir $n=-\frac{b}{2a}$

Sustituyendo en (1) queda $a{t}^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$. (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^2=K$, que es lo pretendido mediante el cambio de variable, y que −como se expresó− su solución es inmediata, del tipo $t=\pm \sqrt{K}$

Por tanto, despejando la variable $t$ en la ecuación (2), queda $t=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Dado que $x=t+n$, y que $n=-\frac{b}{2a}$, se obtiene la solución de la ecuación original con variable en $x$, que es

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

El artificio de esta demostración consiste en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Solución por descomposición de factores

Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método, según el libro de Álgebra de A. Baldor.

Pasos

• Simplificar la ecuación y ponerla en la forma

$x^2+bx+c=0$

• Factorice el primer miembro de la ecuación
• Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x

Ejemplo: Resolver

$x^2+5x-16=8$

      Paso No.1    $x^2+5x-16-8=0$   ---->    $x^2+5x-24=0$

      Paso No.2       $x^2+5x-24=(x+8)(x-3)$ 
      Paso No.3       $x+8=0$   --->   $x=-8$  
                      $x-3=0$   --->   $x=3$ 

Nota. En caso de que dude del resultado multiplique ambos factores. Ejemplo: (x + 8 )(x - 3 ) = (x)(x) - 3(x) + 8(x) - 24 --> x2 - 3x + 8x - 24 --> x2 + 5x - 24

Obviamente le regresará el valor de la ecuación.