Matemáticas/Álgebra Abstracta/Apéndices/Teoremas de Sylow

En este apéndice, obtendremos algunos de los resultados más importantes de la teoría de grupos finitos, uno de los cuales es una forma más débil del recíproco del teorema de Lagrange. Éste será el primer resultado que obtendremos.

Así, por ejemplo, el grupo alternado $A_5$ de orden $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ tiene subgrupos de orden 2, 4, 3 y 5, y el grupo alternado $A_6$ de orden $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ tiene subgrupos de orden 2, 4, 8, 3, 9 y 5, pues todos estos números son potencias de números primos que dividen al orden de cada grupo.

En particular, tenemos el

La formulación de los resultados restantes que obtendremos en esta sección se hacen en términos de la definición siguiente.

Por el teorema de Lagrange, si $S$ es un $p$-subgrupo de Sylow, entonces no hay un $p$-subgrupo de orden mayor que el de $S$, pues el orden de éste no dividiría al orden de $G$, y por ello no puede ser un subgrupo de $G$. Por lo tanto, un $p$-subgrupo de Sylow es un $p$-subgrupo maximal. Por el primer teorema de Sylow, un grupo siempre tiene al menos un $p$-subgrupo de Sylow para cada primo $p$, si bien es posible que éste sea trivial (cuando $p^0$ es la mayor potencia de $p$ que divide al orden del grupo). Notemos que si $H$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$, entonces $gH{g}^{-1}$ es también un $p$-subgrupo de Sylow, puesto que este subgrupo es la imagen de $H$ por el automorfismo interno dado por $h⟼gh{g}^{-1}$. En consecuencia, un $p$-subgrupo de Sylow es normal en $G$ si y sólo si éste es el único $p$-subgrupo de Sylow de $G$.

La demostración del segundo teorema de Sylow que daremos aquí depende del lema siguiente.