Mecánica cuántica/Sistemas de dos electrones

Supongamos un sistema 2 partículas idénticas con $s=\frac{1}{2}$ (electrones). Como son fermiones idénticos, el estado del sistema conjunto debe estar antisimetrizado.

Primer electrón: ${ℍ}_1={ℍ}_1^{orb}\otimes {ℍ}_1^{spin}$

Segundo electrón: ${ℍ}_2={ℍ}_2^{orb}\otimes {ℍ}_2^{spin}$

$|{\varphi }_1⟩=|{\varphi }_1^{orb}⟩\otimes |{\varphi }_1^{spin}⟩$

¿Donde vive el sistema de dos electrones?

$ℍ={ℍ}_1\otimes {ℍ}_2=\underset{{ℍ}_1^{orb}\otimes {ℍ}_2^{orb}}{\underbrace{{ℍ}^{orb}}}\otimes \underset{{ℍ}_1^{sp}\otimes {ℍ}_2^{sp}}{\underbrace{{ℍ}^{spin}}}\to (\ni )\stackrel{|{\varphi }_1^{orb}{\varphi }_2^{orb}⟩}{\overbrace{|{\varphi }^{orb}⟩}}\otimes \stackrel{|{\varphi }_1^{sp}{\varphi }_2^{sp}⟩}{\overbrace{|{\varphi }^{spin}⟩}}$

El estado total de dos fermiones debe ser antisimétrico

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|\varphi ⟩=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|{\varphi }_1^{orb}{\varphi }_2^{orb}⟩\otimes |{\varphi }_1^{sp}{\varphi }_2^{sp}⟩=$

$=|{\varphi }_2^{orb}{\varphi }_1^{orb}⟩\otimes |{\varphi }_2^{spin}{\varphi }_1^{sp}=-|{\varphi }_1^{orb}{\varphi }_2^{orb}⟩\otimes |{\varphi }_1^{sp}{\varphi }_2^{sp}⟩=-|\varphi ⟩$

• La antisimetría puede conseguirse de dos maneras: con una parte orbital simétrica y una parte de spin antisimétrica, o viceversa.

Aquí acaba la parte olvidada

Encontrad el autoestado de energía...

$E=E_1+E_2\Rightarrow E=E_0+E_0\Rightarrow s=0.$

• Si dos partículas idénticas están "separadas" en el espacio no es "necesario" simetrizar su función de onda (se pierde la coherencia orbital).

Si nos planteamos $\varphi (x_1,x_2)={\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)$

$\varphi (x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\varphi (x_1,x_2)+\varphi (x_2,x_1)]=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)+{\varphi }_1(x_2){\varphi }_2(x_1)]$

La densidad de probabilidad de encontrar un electrón en $x_1$ y el otro en $x_2$ es:

${|{\varphi }_1(x_1)\cdot {\varphi }_2(x_2)|}^2$

Esto de aquí es lo mismo que tomar la función de onda simétrica (módulo cuadrado) y sumarle las coordenadas cambiadas

${|{\varphi }_s(x_1,x_2)|}^2+{|{\varphi }_s(x_2,x_1)|}^2.$

Demostración:

$\frac{1}{2}{|{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)+\cancel{\varphi (x_2)}\cancel{{\varphi }_2(x_1)}|}^2=\frac{1}{2}{|\cancel{{\varphi }_1(x_2)}\cancel{{\varphi }_2(x_1)}+{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2)|}^2.$

• "Si simetrizas las partículas, ambas están en las mismas posiciones con la misma probabilidad."
• "$x_1$ es un valor cercano al valor promedio."
• Es un hecho empírico que NO existen sistemas de partículas idénticas de simetría mixta o sin simetría.
• Conexión spin-estadistica: Las partículas de spin semientero $(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\dots )$ son fermiones y las de spin entero $(0,1,2,\dots )$ son bosones.

• Consecuencia: Principio de exclusión de Pauli

• Para ilustrar el comportamiento de fermiones y bosones consideremos el siguiente ejemplo:

• Si las dos partículas no son idénticas el sistema puede encontrarse en los siguientes estados:

• Si son bosones idénticos debo "simetrizar"

• A temperaturas bajas las partículas tienen a ocupar el estado fundamental de energia.

• Supongamos que conocemos el espectro de energías de una partícula escalar (bosón) sometida a un cierto potencial.