Mecánica cuántica/Simetría bajo partículas idénticas

Consideremos 2 partículas idénticas (n y p) identificadas por sus valores propios respecto a un mismo CCOC.

$|a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }\dots ⟩\equiv |a^{\prime }⟩$

$A|a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }\dots ⟩=a^{\prime }|a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }\dots ⟩$

$|a^{″}{b}^{″}\dots ⟩=|a^{″}⟩$

$A|a^{″}{b}^{″}\dots ⟩=a^{″}|a^{″}⟩$

El sistema de ambas partículas viene descrito por su producto directo

$|a^{\prime }⟩\otimes |a^{″}⟩=|a^{\prime }⟩|a^{″}⟩=|a^{\prime };a^{″}⟩=|a^{\prime }{a}^{″}⟩$

donde la posición que ocupan escritas en el ket (en el sentido de orden) indica si se trata de la primera o de la segunda partícula.

¿Cómo actúa el observable $A=A_1+A_2=A_1\otimes {ℐ}_2+{ℐ}_1\otimes A_2$ sobre el sistema?

$A|a^{\prime }{a}^{″}⟩=A|a^{\prime }⟩\otimes ℐ|a^{″}⟩+ℐ|a^{\prime }⟩\otimes A|a^{″}⟩=(a^{\prime }+a^{″})|a^{\prime }{a}^{″}⟩$

Entonces

$A|a^{\prime }{a}^{″}⟩=(a^{\prime }+a^{″})|a^{\prime }{a}^{″}⟩$

$A|a^{″}{a}^{\prime }⟩=(a^{″}+a^{\prime })|a^{″}{a}^{\prime }⟩$

tenemos que estos dos estados matemáticamente distinguibles (ortogonales) son físicamente indistinguibles: los observables del CCOC da para ambos el mismo valor propio. Haciendo medidas no se pueden distinguir.

"Degeneración de intercambio" $c_1|a^{\prime }{a}^{″}⟩+c_2|a^{″}{a}^{\prime }⟩$ tiene los mismos valores propios.

Es conveniente introducir el grupo $S_n$ de permutaciones de n objetos $S_n\ni p$ tal que cambie el orden de n elementos

$S_n\ni p=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ p_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right)$

Ejemplo:

$S_2=\{e=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\}$

Ejemplo: $S_3=\{e=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\}$

Las tres primeras de este ejemplo son trasposiciones y las demás se componen con dos transpociones.

El orden de $S_n$ es $n(n-1)\cdots =n!$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$

Notación "2-ado"

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\cancel{\left(\begin{array}{c}3\end{array}\right)}$

"1 va a 2, 2 va a 1"

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)$ es lo mismo que $\left(\begin{array}{c}\dots \end{array}\right)$

Y se multiplican leyendo...

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)$

Otro ejemplo..

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)\cancel{\left(\begin{array}{c}2\end{array}\right)}$

Podemos definir la acción de una permutación de $S_n$ sobre un estado cuántico de n partículas.

Ejemplo: $n=2$ $|a^{\prime }{a}^{″}⟩$ $S_2=\{e_1\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\}$

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}⟩=|a^{″}{a}^{\prime }⟩$

Ejemplo $n=3$ $|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}⟩$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}⟩=|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}⟩$

Para el grupo $S_2?\{e,\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\}$ se definen el simetrizador $S$ y el antisimetrizador $a$ del grupo.

$S=\frac{1}{2}[e+\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)]$

$a=\frac{1}{2}[e-\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)]$

¿Cómo actúan $S$ y $a$ sobre $|a^{\prime }{a}^{″}⟩$?

$S|a^{\prime }{a}^{″}⟩=\frac{1}{2}(e+\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right))|a^{\prime }{a}^{″}⟩=\frac{1}{2}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩+|a^{″}{a}^{\prime }⟩)$

Y normalizando

$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩+|a^{″}{a}^{\prime }⟩)\equiv |a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_S$

$|a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_S=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩+|a^{″}{a}^{\prime }⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|a^{″}{a}^{\prime }⟩+|a^{″}{a}^{\prime }⟩)$

$a|a^{\prime }{a}^{″}⟩=\frac{1}{2}[e-\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}⟩]=\frac{1}{2}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩-|a^{″}{a}^{\prime }⟩)$

Y normalizando

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩-|a^{″}{a}^{\prime }⟩)\equiv |a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_a$

$|a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_a=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}{⟩}_a=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}(|a^{\prime }{a}^{″}⟩-|a^{″}{a}^{\prime }⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|a^{″}{a}^{\prime }⟩-|a^{″}{a}^{\prime }⟩)=\dots$

Simetría bajo permutaciones

Para n partículas

$S=\frac{1}{n!}\sum _{p}p$

$S_3\to s=\frac{1}{6}[e+\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\end{array}\right)]$

$a=\frac{1}{n!}\sum _p(-1{)}^{p}p$

$S_3\to a=\frac{1}{6}[e-\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\end{array}\right)]$

$|i_1\dots i_n{⟩}_S=S|i_1\dots i_n⟩\text{normalizado}$

es simétrico (par) bajo transposiciones.

$|i_1\dots i_n{⟩}_a=a|i_1\dots i_n⟩\text{normalizado}$

es antisimétrico (impar) bajo transposiciones.

Dadas 3 partículas idéticas en el estado $|a^{\prime }⟩$, $|a^{″}⟩$ y $|a^{‴}⟩$ constante $|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_S$ y $|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_a$.

(Creo que esto va aquí)

Ejercicio para casa: Simetrizar y antisimetrizar este estado $|a^{\prime }{a}^{\prime }{a}^{″}⟩$ y comprobar

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_s=+|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_s$

$\left(\begin{array}{cc}1& 3\end{array}\right)|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_a=-|a^{\prime }{a}^{″}{a}^{‴}{⟩}_a$