Mecánica cuántica/Suma de momentos angulares

Supongamos que tenemos 2 partículas de spin $s_1=\frac{1}{2}$ y $s_2=\frac{1}{2}$ juntas y con un momento angular orbital nulo (onda s). ¿Cuál es el momento angular total ${\overrightarrow{S}}_1+{\overrightarrow{S}}_2=\overrightarrow{J}$? Ejemplo: 2 quarks dentro de un mesón.

O supongamos una partícula de espín $s=\frac{1}{2}$ girando en un potencial con momento angular orbital $l=1$. ¿Cuál será en este caso el momento angular total $\overrightarrow{S}+\overrightarrow{L}=\overrightarrow{J}$?.

Sean

$|\alpha ⟩\in ℍ:\{|e_i⟩\}$

y

$|\beta ⟩\in ℍ:\{|e{\text{'}}_i⟩\}.$

Las dos partículas, consideradas a la vez, viven el espacio directo $ℍ\otimes ℍ$ (producto tensorial).

Necesitamos un inciso matemático de tres minutos:

$ℍ\otimes ℍ\ni |\gamma ⟩=|\alpha ⟩\otimes |\beta ⟩$

$ℍ\otimes ℍ$ base ortonormal $\{|e_i⟩\otimes |e{\text{'}}_j⟩\}$

$ℍ\otimes ℍ\ni \gamma =|e_i{e}^{\prime }j⟩{\gamma }_{ij}$

$\text{Dim }ℍ\otimes ℍ=nm$

Sean ahora las partículas con $s_1=1/2$ y $s_2=1/2$.

1a Partícula:

${ℍ}^{1/2}:\{|+⟩,|-⟩\}\to |\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩$

2a Partícula:

${ℍ}^{1/2}:\{|+⟩,|-⟩\}\to |\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩$

${ℍ}^{1/2}\otimes {ℍ}^{1/2}:\{|++⟩,|+-⟩,|-+⟩,|--⟩\}$

1a Particula:

${ℍ}^{j_1}:\{|j_1{m}_1⟩\},m_1=j_1\dots -j_1$

${ℍ}^{j_2}:\{|j_2{m}_2⟩\},m_1=j_2\dots -j_2$

${ℍ}^{j_1}\otimes {ℍ}^{j_2}:\{|j_1{j}_2;j_2{m}_2⟩\}$

¿Y qué pasa con los operadores?

$A|e_i⟩=|e_j⟩A_{j,i}$

$B|e_i⟩=|e_j⟩B_{j,i}$

$A\otimes B|e_i⟩\otimes |e{\text{'}}_j⟩=A\otimes B|e_{i^{\prime }}e{\text{'}}_{j^{\prime }}{A}_{i^{\prime }i}{B}_{j^{\prime }j}$

No se qué...

$J_z\equiv (S_1{)}_z(\otimes ℐ)+(ℐ\otimes )(S_2{)}_z$

$(S_1{)}_z|+⟩=\frac{\hslash }{2}|+⟩$ $(S_1{)}_z|++⟩=S_{1z}\otimes ℐ|++⟩=S_{1z}|+⟩\otimes ℐ|+⟩=\frac{\hslash }{2}|+⟩\otimes |+⟩=\frac{\hslash }{2}|++⟩$

$(S_2{)}_z|+-⟩=ℐ\otimes S_{z2}|+-⟩=ℐ|+⟩\otimes S_{2z}|-⟩=-\frac{\hslash }{2}|+-⟩$

Hagamos unos ejercicios para verlo más claro:

$\overrightarrow{J}={\overrightarrow{S}}_1+{\overrightarrow{S}}_2$ $J_z|++⟩=(S_{1z}+S_{2z})|++⟩=S_{1z}|+⟩\otimes ℐ|+⟩+ℐ|+⟩\otimes S_{2z}|+⟩=\frac{\hslash }{2}|++⟩+\frac{\hslash }{2}|++⟩=\hslash |++⟩$

El vector $|++⟩$ es propio de $J_z$ con valor $\hslash$

$J_{+}|++⟩=0$ $J_{-}|++⟩=\hslash |-+⟩+\hslash |+-⟩$

(Compruébalo)

$J_{-}|jm⟩=\sqrt{\cdots }|jm-1⟩$ $J_{-}|1/21/2⟩=\hslash |1/2-1/2⟩$

$\{|++⟩,|+-⟩,|-+⟩,|--⟩\}$

¿Cuál es el $j$ de esos 4 estados (sin tablas de Clebsch-Gordan)?

Tomo el vector con mayor $J_z$, $|++⟩$. Actúo con $J_{-}⟩$ sobre el vector, y normalizo el resultado

$J_{-}|++⟩=\hslash |-+⟩+\hslash |+-⟩$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩+|-+⟩)$

Busco un vector ortonormal al obtenido

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩-|-+⟩)$

Se repite el proceso con todos los vectores que he obtenido.

$\begin{array}{ccc}{J}_{-}\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩+|-+⟩)& =& \frac{1}{\sqrt{2}}(S_{\cancel{1}-}|+⟩\otimes |-⟩+|+⟩\otimes S_{\cancel{2}-}|⟩+S_{1-}|-⟩\otimes |+⟩+|-⟩\otimes S_{2-}|+⟩)\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}}(\hslash |--⟩+\hslash |--⟩)\\ & =& \sqrt{2}\hslash |--⟩\to |--⟩(?)\end{array}$

Con los subíndices tachados se quiere indicar que a menudo son omitidos en los libros ya que se sobreentienden. También con otros detalles.

Ya hemos acabado el ejemplo

$\left\{|++⟩\stackrel{J_{-}}{\to }\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩+|-+⟩)\stackrel{J_{-}}{\to }|--⟩\right\}\wedge \left\{\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩-|-+⟩)\right\}.$

Estas combinaciones de ${ℍ}^{1/2}$ se parecen mucho al espacio que conocemos ${ℍ}^1$. Podemos usarlas como definidas

$|\frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩\equiv |11⟩$

o podemos verlo como ${ℍ}^1\oplus {ℍ}^0$.

Sabemos que un tensor es el producto de dos vectores, por ejemplo $\in {ℍ}^{1/2}\otimes {ℍ}^{1/2}$. El momento angular de dos partículas de spin en un medio viene descrito por los vectores del espacio anterior (combinaciones lineales ellas)

${ℍ}^{1/2}\otimes {ℍ}^{1/2}={ℍ}^1\oplus {ℍ}^0$

$\{|++⟩,|+-⟩,|-+⟩|--⟩\};\{|++⟩,\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-⟩+|-+⟩),|--⟩\}\text{ y otro más}$

Es común caracterizar el producto tensorial como la dimensión del espacio

$2\times 2=3+1.$

El cambio de una base a otra se lleva a cabo mediante los coeficientes de Clebsch-Gordan. Ejemplos:

$⟨10|\frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$⟨\frac{1}{2}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\frac{1}{2}|11⟩=1$

¿Cuál es el momento angular total de una partícula de espín un medio girando con l=1 alrededor de un potencial central?

$\{|1/21/2⟩,|1/2-1/2⟩\}\{|11⟩,|10⟩,|1,-1⟩\}$

${ℍ}^{1/2}\otimes {ℍ}^{1=l}=$

$\{|1/21/2,11⟩,|1/21/2,10⟩,\dots |1/2-1/2,1-1⟩|\}$

Son 6 vectores en total. Equivalente a

${ℍ}^{3/2}\oplus {ℍ}^{1/2}=$

$\{|3/2⟩|3/2⟩,\dots |3/2⟩-3/2⟩\}\{|1/21/2⟩,|1/2-1/2⟩\}$

Encontremos cómo formar el $|1/21/2⟩$ de la segunda base con los coeficientes C-G. Comprueba esto:

$|1/21/2⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}|11,1/2-1/2⟩-\sqrt{\frac{1}{3}}|10,1/21/2⟩$

$|3/2-1/2⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}|10,1/2-1/2⟩+\sqrt{\frac{1}{3}}|1-1,1/21/2⟩$

¿Cuál es el momento angular de...?

$|10,1/21/2⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}|\underset{j=3/2}{\underbrace{3/2}}1/2⟩-\sqrt{\frac{1}{3}}|\underset{j=1/2}{\underbrace{1/2}}1/2⟩$

Hemos analizado el caso de $l$ y $s$ girando en $V(r)$.

Lo más natural son dos partículas con $V(|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|)$. En este caso el centro de masas se mueve como una partícula libre de masa $m_1+m_2=M$. Es aproximádamente una partícula de masa $1/m=1/m_1+1/m_2$ sometido a $V(r=|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|)$.