Mecánica cuántica/Momento angular orbital y momento angular de spin

El momento angular $\overrightarrow{L}$ de una partícula con función de onda $\psi (\overrightarrow{x})$ se obtiene como

$\overrightarrow{L}|\psi ⟩\doteq ⟨\overrightarrow{x}|\overrightarrow{L}|\psi ⟩=-i\hslash \overrightarrow{x}\times \mathrm{\nabla }\psi (\overrightarrow{x})$

Supongamos una partícula cuyo momento angular orbital es nulo ($l=0$), lo cual se denomina onda s.

$L_z|\mathrm{\Psi }⟩=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})\psi (\overrightarrow{x})=0$

que es una función de onda que no gira alrededor del eje z.

$\to$ Al medir su momento angular (total) $J_z$ se encuentra que puede ser distinto de cero.

$⟹$ Las partículas tienen un momento angular intrínsico o spin, $\overrightarrow{S}$.

Clásicamente podría asimilarse al giro respecto a un eje interno (rotación), pero como el electrón es puntual "no tiene sentido".

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$

• $\overrightarrow{L}$ no conmuta con $\overrightarrow{X}$, al contrario que $\overrightarrow{P}$.
• Se demostrará que $l$ solo puede tomar valores enteros y $s$ semienteros.

En la representación de posiciones tenemos

$\overrightarrow{L}|\psi ⟩\doteq -i\hslash \underset{⟨\overrightarrow{x}|\overrightarrow{L}|\mathrm{\Psi }⟩}{\underbrace{\overrightarrow{x}\times \mathrm{\nabla }\psi (\overrightarrow{x})}}$

$L_i|\psi ⟩\doteq -i\hslash {ϵ}_{ijk}{x}_k\frac{\partial \psi (\overrightarrow{x})}{\partial x_k}$

$⟨\overrightarrow{x}|L_z|\psi ⟩=-i\hslash (x\frac{\partial \psi }{\partial y}-y\frac{\partial \psi }{\partial x})$

En general es conveniente usar coordenadas esféricas

$\psi (\overrightarrow{x})=⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$

$\psi (x,y,z)=⟨\overrightarrow{x}(x,y,z)|\mathrm{\Psi }⟩$

$\psi (r,\theta ,\varphi )=⟨\overrightarrow{x}(r,\theta ,\varphi )|\mathrm{\Psi }⟩$

y en esféricas

$\cdots =-i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial \varphi }$

donde la conversión es

$x=rsen\theta cos\varphi$

$y=rsen\theta \sin \varphi$

$z=rcos\theta$

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\tan \theta =\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

$\tan \varphi =\frac{y}{x}$

$L_x$, $L_y$, $L_{+}$, $L_{-}$ y $L^2$ dependen de la parte angular de $\psi$, es decir, de $\theta$ y $\varphi$, no de la parte radial $r$.

$⟨\psi |L_z|\psi ⟩=\int d^{3}x{\psi }^{*}(x,y,z)(-i\hslash )(x\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}-y\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z})$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{2}dr\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(cos\theta ){\psi }^{*}(r,\theta ,\varphi )(-i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \varphi })$

$\to \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta$

Armónicos esféricos

Supongamos una partícula sin espín (s=0) sometida a un potencial central $V(|\overrightarrow{x}|)=V(r)$ (simetría esférica)

$H(V,p^2)$

$V\to V(r)$

$p^2\to -\hslash [\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)-\frac{1}{{\hslash }^2{r}^2}{L}^2]$

$\Rightarrow [H,L_z]=0=[H,L^2]$

Puedo obtener una base de vectores propios de $H$, $L_z$ y $L^2$ si\-mul\-tá\-neamente:

$\{|n,l,m⟩\}$

$H|nlm⟩=E_n|nlm⟩$ $L^2|nlm⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|nlm⟩$ $L_z|nlm⟩=\hslash m|nlm⟩$

Separando...

$⟨\overrightarrow{x}|nlm⟩=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta ,\varphi )$

e imponiendo normalidad

$\int dr{r}^2|R_{nl}{|}^2=1\Rightarrow ⟨n{l}^{\prime }{m}^{\prime }|nlm⟩={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \theta )Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}{Y}_l^m$

Las $Y_l^m(\theta ,\varphi )$ son funciones propias de $L_z$ y $L^2$ que se denominan armónicos esféricos.

$-i\hslash \frac{\partial Y_l^m(\theta ,\varphi )}{\partial \varphi }=m\hslash Y_l^m(\theta ,\varphi )$

$L_z|nlm⟩=m\hslash |nlm⟩$

$-\hslash [\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(sen\theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right)]Y_l^m(\theta ,\varphi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$

Uno encuentra que

• Para $m\ge 0$

$Y_l^m(\theta ,\varphi )=\frac{(-1{)}^l}{2^{l}l!}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}{e}^{im\varphi }\frac{1}{{\sin }^m\theta }\frac{d\dots }{\dots }$

• Resto de casos

$\cdots$

• Si la dependencia angular de la función de onda de un estado factoriza $|\mathrm{\Phi }⟩\to \mathrm{\Phi }(r,\theta ,\varphi )=f(r)\mathrm{\Psi }(\theta ,\varphi )$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dr{r}^{2}f(r)=1$

Si $\psi (\theta ,\varphi )=\sum _{l,m}{c}_l^m{Y}_l^m(\theta ,\varphi )$, la probabildad de obtener $m\hslash$ al medir $L_z$ es

$|c_l^m{|}^{2}l(l+1)$

donde $L^2$ es $\sum _l|c_l^m{|}^2$

$c_l^m=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \theta )Y_l^m()Y_l^{*m}().$