Mecánica cuántica/La matriz densidad

La matriz densidad $\rho$

La matriz densidad se utiliza para caracterizar a un conjunto de estados.

• Conjunto puro: Todos los estados vienen descritos por el mismo vector $|\alpha ⟩$.
• Conjunto mezcla: Tengo $N$ estados $N_i$ descritos por $|{\alpha }^{(i)}⟩$

$N=\sum N_i=\sum {\omega }_{i}N$ donde hemos introducido ${\omega }_i$

${\omega }_i\equiv \frac{N_i}{N}$

como la frecuencia del conjunto (que no estado) caracterizado por $|{\alpha }^{(i)}⟩$.

El valor medio de un observable $A$ medido sobre el conjunto se puede escribir (esta vez sí es un estadístico) en términos de la matriz densidad:

$\begin{array}{ccc}⟨A{⟩}_c& =& \frac{\sum _i{N}_i⟨A{⟩}_i}{N}\\ & =& \sum _i{\omega }_i⟨{\alpha }^{(i)}\underset{1=\sum _b|b⟩⟨b|}{\underbrace{|}}A\underset{1=\sum _{b^{\prime }}|b^{\prime }⟩⟨b^{\prime }|}{\underbrace{|}}{\alpha }^{(i)}⟩\\ & =& \sum _{i,b,b^{\prime }}{\omega }_i⟨{\alpha }^{(i)}|b⟩⟨b|A|b^{\prime }⟩⟨b^{\prime }|{\alpha }^{(i)}⟩\\ & =& \sum _{b,b^{\prime }}⟨b^{\prime }|\underset{\text{Matriz densidad}}{\underbrace{(\sum _i{\omega }_i|{\alpha }^{(i)}⟩⟨{\alpha }^{(i)}|)}}|b⟩⟨b|A|b^{\prime }⟩\\ & =& \sum _{b,b^{\prime }}\underset{\text{Elemento }{\rho }_{b{b}^{\prime }}}{\underbrace{⟨b^{\prime }|\rho |b^{\prime }⟩}}⟨b|A|b^{\prime }⟩\\ & =& \sum _{b,b^{\prime }}{\rho }_{b{b}^{\prime }}{A}_{b{b}^{\prime }}=\sum _{b^{\prime }}(\rho A{)}_{b{b}^{\prime }}\\ ⟨A{⟩}_c& =& tr(\rho A)\end{array}$

La matriz densidad caracteriza completamente a la colectividad

$\rho \equiv \sum _i{\omega }_i|{\alpha }^{(i)}⟩⟨{\alpha }^{(i)}|$

• ${\omega }_i|{\alpha }^{(i)}⟩$ es la frecuencia del estado $i$.
• Tras medir el observable $A$ todos los estados del sistema habrán pasado a ser un vector propio de $A$. ¿Cuál es la probabilidad de obtener $a$ al medir $A$ a solamente un objeto de la colectividad?

$\begin{array}{ccc}{\omega }_a& =& \sum _i\underset{{\alpha }_a^{(i)}}{\underbrace{⟨a|{\alpha }^{(i)}⟩}}\underset{{\alpha }_a^{(i)*}}{\underbrace{⟨{\alpha }^{(i)}|a⟩}}=⟨a|\rho |a⟩={\rho }_{aa}\\ & =& \sum _i⟨{\alpha }^{(i)}\underset{P_a=P_a^2}{\underbrace{|a⟩⟨a|}}{\alpha }^{(i)}⟩=\sum _i{\omega }_i⟨{\alpha }^{(i)}|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩\\ & =& \sum _{i,b}{\omega }_i⟨{\alpha }^{(i)}|P_a|b⟩⟨b|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩\\ & =& \sum _b⟨b|P_a\underset{\rho }{\underbrace{(\sum _i{\omega }_i|{\alpha }^{(i)}⟩⟨{\alpha }^{(i)}|)}}{P}_a|b⟩\\ & =& \sum _b(P_a\rho P_a{)}_{bb}=tr(P_a\rho P_a)\\ & =& tr(\rho P_a{P}_a)=tr(\rho P_a)\text{(a degenerado o no)}\end{array}$

El paso de la última línea se ha podido llevar a cabo ya que

$\begin{array}{ccc}tr(AB)& =& \sum _i(AB{)}_{ii}=\sum _{ij}{A}_{ij}{B}_{ji}=\sum _{ij}{B}_{ji}{A}_{ij}=\sum _j(BA{)}_{jj}\\ & =& tr(BA).\end{array}$

• Si el proyector es no degenerado. $\Rightarrow$ $P_a=|a⟩⟨a|.$
• Si el proyector es degenerado. $\Rightarrow$ $P_a=\sum |a_i⟩⟨a_i|.$

Tras medir el observable $A$ a algún estado $|{\alpha }^{(i)}⟩$, si se ha obtenido el valor propio $a$, el estado pasa a ser

$|{\alpha }^{(i)}⟩\stackrel{A,a}{\to }|a^{(i)}⟩=\frac{P_a|{\alpha }^{(i)}⟩}{|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩|}.$

Si es no degenerado

$|{\alpha }^{(i)}⟩\stackrel{A,a}{\to }|a^{(i)}⟩=|a⟩.$

• Si medimos $A$ a todos los elementos de la colectividad y seleccionamos aquellos con valor propio $a$, la matriz densidad de ese conjunto es

$\cdots$

¿Cuál es la probabilidad de al obtener un estado ...?

• Probabilidad de obtener $|{\alpha }^{(i)}⟩$: ${\omega }_i$.
• Si he tomado $|{\alpha }^{(i)}⟩$ el estado pasará a ser

$|a^i⟩=\frac{P_a|{\alpha }^{(i)}⟩}{|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩|}$

con probabilidad $|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩{|}^2.$

$\rho =\frac{{\omega }_i|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩{|}^2}{(\sum _j{\omega }_j|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩{|}^2}\begin{array}{c}\frac{P_a|{\alpha }^{(i)}⟩}{|P_a|{\alpha }^{(i)}⟩|}\\ \frac{⟨{\alpha }^{(i)}|P_a}{⟨{\alpha }^{(i)}|P_a|}\end{array}$

$\rho =\sum _i{\omega }_i|{\alpha }^{(i)}⟩⟨{\alpha }^{(i)}|\text{(que deben verificar }\sum {\omega }_i=1\text{)}$

$\rho =\frac{P_a\rho P_a}{tr(\rho P_a)}.$

Postulado 4 (según Galindo Pascual): Si al medir $A$ a una colectividad $\rho$ se encuentra el valor propio $a$, la proyección de la colectividad sobre el subespacio de valor propio $a$ viene descrito por

$\rho =\frac{P_a\rho P_a}{tr(\rho P_a)}$

• Si mezclo la colectividad ${\rho }_1$ con la colectividad ${\rho }_2$, la matriz densidad resultante es $\rho ={\omega }_1{\rho }_1+{\omega }_2{\rho }_2$

donde ${\omega }_i=\frac{N_i}{\sum N_i}.$

Para una colectividad genérica:

• $tr(\rho )=1$
• ${\rho }^{†}=\rho$
• ${\omega }_a={\rho }_{aa}$
• $\sum {\omega }_a=1$
• $tr({\rho }^2)\le 1$
• ${\rho }^2\ne \rho$ $\Rightarrow$ $\rho$ no es un proyector.

Si tenemos una colectividad pura

• $\rho$ es un proyector
• ${\rho }^2=\rho$.
• $tr({\rho }^2)=1$.
• Sus autovalores son cero o uno.
• $\mathrm{\#}|{\alpha }^{(i)}⟩$ puede ser mayor que la dimensión de $ℍ$.