Matemáticas/Geometría/Analítica en el plano/La Recta/Tres puntos alineados

Condición de alineación de tres puntos

Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos $P$($x$ , $y$), $P_1$($x_1$ , $y_1$), $P_2$($x_2$ , $y_2$) pertenecientes a una recta $\overrightarrow{r}$ no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean $P$', $P_1$' y $P_2$' las proyecciones ortogonales sobre el eje $\overrightarrow{x}$ de los puntos $P$, $P_1$ y $P_2$, y $P$", $P_1$" y $P_2$" las proyecciones ortogonales sobre el eje $\overrightarrow{y}$ de los puntos $P$, $P_1$ y $P_2$. Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
Como las rectas ($P$$P$'), ($P_1$$P_1$') y ($P_2$$P_2$') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{x}$ resulta:

$\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)}=\frac{d(P^{\prime },P{\text{'}}_1)}{d(P^{\prime },P{\text{'}}_2)}$

De igual forma, las rectas ($P$$P$"), ($P_1$$P_1$") y ($P_2$$P_2$") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{y}$ Resulta :

$\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)}=\frac{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_1)}{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_2)}$

En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:

$\frac{d(P^{\prime },P{\text{'}}_1)}{d(P^{\prime },P{\text{'}}_2)}=\frac{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_1)}{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_2)}$

Considerando el orden de los puntos de la recta $\overrightarrow{r}$, se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:

$\frac{x-x_1}{x-x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}$

ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta $\overrightarrow{r}$.

Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :$\frac{d(P^{\prime },P{\text{'}}_1)}{d(P^{\prime },P{\text{'}}_2)}=\frac{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_1)}{d(P^{″},P^{\prime }{\text{'}}_2)}$

quedará como : $\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{-(y_2-y)}\iff \frac{x-x_1}{-(x-x_2}=\frac{y-y_1}{-(y-y_2)}\iff \frac{x-x_1}{x-x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}$
Lo anterior es equivalente a:

$(x-x_1)(y-y_2)=(x-x_2)(y-y_1)$