Matemáticas/Aritmética/Logaritmación

Plantilla:+ÍndiceSección El logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

hay tres operaciones relacionadas:

• la potencia:

$a=b^c$

a es igual a b elevado a la potencia c

• la raíz

$b=\sqrt[c]{a}$

b es la raíz c-esima de a

• el logaritmo

$c={\log }_{b}a$

c es el logaritmo de base b de a, esto es c es el número al que hay que elevar b para obtener a.

Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10 ³ = 10×10×10:

${\log }_5(125)\to 5^x=125\to x=3$

Orígenes

En el pasado los logaritmos eran muy útiles para calcular productos de números muy grandes (recordemos que no había calculadoras). Hoy en día se utilizan entre otras cosas para representar en un mismo gráfico diferentes órdenes de magnitud, los decibelios al fin y al cabo son logaritmos.

Logaritmos decimales

Un logaritmo decimal de un número $P$ se designa como $\log P$, y el resultado es el número al que hay que elevar el $10$ para obtener $P$

$x=\log P⟺10^x=P$

La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extrañado, por eso es bueno que se hagan pruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el $\log 245$ a base de tanteo $10^{2,3}=199$ $10^{2,4}=251$ $10^{2,35}=223$ y luego comprobar que vale log 245 con la calculadora.

Logaritmos de base cualquiera

Se define el logaritmo en base $a(a>0)$ de $P$, y se escribe como ${\log }_{a}P$, el exponente al que hay que elevar $a$ para obtener $P$

${\log }_{a}P=x⟺a^x=P$

Logaritmo Neperiano

También llamado logaritmo natural, es un logaritmo en base $e$. Se representa como $\ln$

${\log }_{e}x=\ln x$ Se lee: "logaritmo en base e de x" es igual (es lo mismo que) "logaritmo natural de x"

Propiedades

• El logaritmo de la base es uno ${\log }_{a}a=1$
• El logaritmo de 1 es cero para cualquier base ${\log }_{a}1=0$
• Logaritmo de un producto ${\log }_a(P\cdot Q)={\log }_{a}P+{\log }_{a}Q$
• Logaritmo de un cociente ${\log }_a\left(\frac{P}{Q}\right)={\log }_{a}P-{\log }_{a}Q$
• Logaritmo de una potencia ${\log }_a{P}^n=n{\log }_{a}P$
• Logaritmo de una raíz ${\log }_a\sqrt[n]{P}=\frac{1}{n}{\log }_{a}P$
• Cambio de base ${\log }_{a}P=\frac{\log P}{\log a}$ Si nos fijamos esta propiedad nos permite calcular logaritmos de base cualquiera con una calculadora que solo disponga de logaritmo decimal.

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