Electrónica/Transformada de Fourier

Definición

Dada una función matemática $f(x)$ en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de $f$ a la función $\hat{f}$ definida por

$\hat{f}(\xi )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,$

la cual está definida para una función integrable $f$ tal que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx<\mathrm{\infty }.$

Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.

La transformada $\hat{f}$ es una función continua y acotada. Si $\hat{f}$ también satisface $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|\hat{f}(\xi )|d\xi <\mathrm{\infty },$ la transformada inversa de Fourier está dada por:

$f(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi$.

Debido a las propiedades

$\widehat{\frac{df}{dx}}(\xi )=2\pi i\xi \hat{f}(\xi )\text{ y }\widehat{xf}(\xi )=-\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{d\xi }\hat{f}(\xi ),$