Geometría Analítica con Matlab/Valores y Vectores Propios

Valores y Vectores Propios

Se plantea una revisión del propiedades sobre determinantes, a partir de la definición propuesta en el libro de matrices de Frank Ayres, página 20, que hace uso del número de inversiones en una permutación.

Inicialmente, considérese una matriz de orden 3. Sea Plantilla:Eqn y un producto de la forma Plantilla:Eqn de tal manera que se tome un único elemento de cada línea (fila y columna). Los primeros subíndices se han tomado en el orden creciente 1, 2, 3, y con respecto a este orden los segundos subíndices forman el arreglo Plantilla:Eqn con lo cual hay seis (6) posibles elecciones para los j's; estas son

123, 132, 213, 231, 321, 312.

Ahora, con relación al orcen creciente tomado para los primeros subíndices, en las elecciones o permutaciones posibles para los segundos subíndices, pueden haber las denominadas inversiones. En una permutación dada existe una inversión cuando un entero precede a otro menor que el. De esta forma, por ejemplo la permutación 321 contiene tres (3) inversiones.

A cada permutación se asocia un signo + o -, de acuerdo a si el número de inversiones presente es par o impar respectivamente. Para el caso de la matriz B anterior, se tienen los seis productos siguientes:

$b_{11}{b}_{22}{b}_{33},b_{11}{b}_{23}{b}_{32},b_{12}{b}_{21}{b}_{32},b_{12}{b}_{23}{b}_{31},b_{13}{b}_{22}{b}_{31},b_{31}{b}_{21}{b}_{32},$

y los signos respectivos asociados a las permutaciones de los segundos subíndices, son:

+, -, -, +, -, +.

Con la información anterior, al tomar el determinante de B (notado $\det B$ o |B|) como la suma de los seis (6) productos precedidos de los respectivos signos, resulta Plantilla:Eqn Este desarrollo permite deducir de manera inmediata propiedades básicas aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño.

Propiedades de Determinantes

Las tres primeras propiedades se observan directamente de Plantilla:Eqnref, y todas ellas las cumplen matrices cuadradas de cualquier tamaño. Plantilla:Importante Se sigue del hecho que cada producto en Plantilla:Eqnref contiene un cero de dicha fila nula. Plantilla:Importante En particular si B es triangular inferior, el desarrollo Plantilla:Eqnref inicialmente se reduce a los dos primeros sumandos pero, en el segundo de ellos el término $b_{23}$ es nulo; por consiguiente Plantilla:Eqn De esta propiedad resulta inmediatamente, Plantilla:Importante Para revisar el determinante cuando se intercambian dos líneas paralelas o, cuando dos de ellas son iguales, se puede reescribir Plantilla:Eqnref en las formas alternativas: Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn De esta manera, se sigue: Plantilla:Importante Puesto que se anulan los factores que involucran restas nulas. Plantilla:Importante En consecuencia al aplicar Plantilla:Eqnref a la matriz Plantilla:Eqn resultando Plantilla:Eqn y en términos de los $b_{j{k}^{\prime }s}$, queda Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn el cual coincide con Plantilla:Eqnref. Esto permite extender las propiedades en las filas a las columnas. Plantilla:Importante Cuando cada término de una fila es suma de otros dos, de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, aplicado a una de las tres expresiones Plantilla:Eqnref - Plantilla:Eqnref, el determinante es suma de dos determinantes como en la manera siguiente: Plantilla:Eqn También, si una fila tiene un factor común, Plantilla:Eqn De manera similar, tomando el desarrollo adecuado, se tiene: Plantilla:Importante Plantilla:Importante La siguiente propiedad se refiere a la multiplicación. Plantilla:Importante Una consecuencia de esta propiedad, junto con el hecho $detI=1$, relaciona el determinante de la inversa: $det{B}^{-1}=\frac{1}{detB}$. Es decir, si B es regular entonces $detB\ne 0$, la matriz inversa $B^{-1}$ está dada por Plantilla:Eqn donde $AdjB$ es la matriz adjunta de B, constituida por los cofactores de esta.

Con lo anterior, se dice Plantilla:Importante

Valores y Vectores Propios

Dada una matriz cuadrada A (de valores reales o complejos), de orden n, se dice que $\lambda$ (real o complejo) es valor propio si existe un vector no nulo x tal que Plantilla:Eqn Al vector x anterior, se le denomina vector propio, y al par $(\lambda ,x)$ se le dice par propio.

Algunas Consecuencias de la definición Plantilla:Eqnref

Si se multiplica la ecuación Plantilla:Eqnref por A: Plantilla:Eqn lo cual significa: Plantilla:Importante Al multiplicar Plantilla:Eqnref por cualquier escalar K Plantilla:Eqn que implica: Plantilla:Importante Retomando la ecuación Plantilla:Eqnref, con el par propio $(\lambda ,x)$: Plantilla:Eqn y aplicando Plantilla:Eqnref se obtiene Plantilla:Eqn lo cual indica que ${\lambda }^2$ es valor propio de $A^2$, asociado al vector propio x. Si se multiplica sucesivamente por potencias de A, se deduce: Plantilla:Importante También se tiene lo siguiente: Plantilla:Importante Plantilla:Res Supóngase que y es un vector propio asociado a los dos valores propios ${\lambda }_1,{\lambda }_2$. Entonces se cumple Plantilla:Eqn de lo cual Plantilla:Eqn o también Plantilla:Eqn, y siendo y un vector no nulo, de la Nota 1 de la sección 1.1 se tiene ${\lambda }_1={\lambda }_2$ Plantilla:Importante Si A es no singular, y si $(\lambda ,x)$ es un par propio de A, entonces ${\lambda }^{-1},x$ es un par propio de $A^{-1}$. Plantilla:Res Si $\lambda ,x$ es par propio de A, satisface Plantilla:Eqn y siendo A no singular, al multiplicar por $A^{-1}$ se tiene $x=\lambda A^{-1}x$ con lo cual $\lambda \ne 0$, ya que $x\ne 0$. Con esto, se plantea la relación Plantilla:Eqn que muestra precisamente que $({\lambda }^{-1},x)$ es par propio de la matriz inversa $A^{-1}$. De esta manera se obtiene: Plantilla:Res Plantilla:Importante x es un vector propio de A si y solo si x es un vector propio de $(A-\alpha I{)}^{-1}$. Plantilla:Res $\Rightarrow$: Si x es un vector propio, existe un complejo $\lambda$ tal que Plantilla:Eqn Siendo $\alpha$ distinto de cualquier valor propio de A entonces $\lambda -\alpha \ne 0$, y sea el complejo $\delta$ definido por Plantilla:Eqn Con este valor se tiene $x=\delta (\lambda x-\alpha x)$ y usando el hecho de que $\lambda$ es valor propio Plantilla:Eqn de lo cual Plantilla:Eqn Ahora bien, si existiera un vector y no nulo tal que $(A-\alpha I)y=O$ la inversa $(A-\alpha I{)}^{-1}$ no existiría, pero en tal caso $Ay=\alpha y$ contrariando precisamente el hecho que $\alpha$ no es valor propio. Por lo tanto $(A-\alpha I{)}^{-1}$ existe y resulta Plantilla:Eqn mostrando que x es vector propio de la matriz $(A-\alpha I{)}^{-1}$ con valor propio asociado $\delta$.

$\Leftarrow$: Si x es un vector propio de $(A-\alpha I{)}^{-1}$, existe un complejo $\varphi$ tal que Plantilla:Eqn Entonces Plantilla:Eqn de donde Plantilla:Eqn y como $\varphi \ne 0$ Plantilla:Eqn es decir, x es vector propio de A con valor propio asociado $\frac{1}{\varphi }(1+\varphi \alpha )$. Plantilla:Importante Plantilla:Res Sean $x_1,x_2,\dots ,x_n$ vectores propios de a asociados al valor propio $\lambda$, y sea Plantilla:Eqn una combinación lineal distinta de cero. Entonces al aplica A Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn

Polinomio Característico

El polinómio característico de una n-matriz A, es Plantilla:Eqn El grado de $p(\lambda )$ es n y el término líder en $p(\lambda )$ es $(-1{)}^n{\lambda }^n$. Los coeficientes del polonómio están en función de las entradas de A.

La ecuación característica de A es Plantilla:Eqn De la relación Plantilla:Eqnref, se tiene que $\lambda$ es valor propio asociado al vector x si Plantilla:Eqn y ya que $x\ne O$, la matriz $A-\lambda I$ es singular, y por la propiedad D-10, se tiene: Plantilla:Res Por consiguiente, de Plantilla:Eqnref y Plantilla:Eqnref se tiene que los valores propios de A son las soluciones de la ecuación característica; por lo tanto, A tiene n valores propios, y algunos de ellos pueden ser complejos (aún si las entradas de A son números reales), y algunos valores propios pueden ser repetidos.

Ahora, tomando el conjugado en Plantilla:Eqnref, Plantilla:Eqn permite concluír: Plantilla:Res Con el fin de expresar el determinante y la traza de una matriz en términos de sus valores propios, se acude a una relación dada en ------ entre las raíces y los coeficientes de un polinómio, para aplicarla por supuesto al polinomio característico. Plantilla:Consejo Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes complejos, $f(x)\in C[x]$, con grado $degf(x)=n⩾1$ y Plantilla:Eqn y sean $c_1,c_2,\dots ,c_n$ las raices de $f(x)$, no necesariamente diferentes, es decir Plantilla:Eqn Observe que $a_0=f(0)$. Del desarrollo de alguno productos Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn Plantilla:Eqn inductivamente se sigue que Plantilla:Eqn para abreviar, sean Plantilla:Caja De lo anterior se sigue que Plantilla:Eqn por lo tanto Plantilla:Eqn y comparando con Plantilla:Eqnref, se surge la relación Plantilla:Eqn de lo cual Plantilla:Eqn Estas últimas relaciones se conocen como fórmulas de Viète.

Para el caso del polinomio característico asociado a una n-matriz A: al aplicar Plantilla:Eqnref en cada una de las filas con $k=-1$, se tiene $det(A-\lambda I)$ en la forma Plantilla:Eqn y teniendo en cuenta la definición de determinante, el término ${\lambda }^n$ precisamente surge del producto que involucra los términos de la diagonal principal. Con esto, para el polinomio característico $p(\lambda )$, su coeficiente líder $a_n$ es $(-1{)}^n$ y usando Plantilla:Eqnref Plantilla:Eqn en donde los coeficientes $s_m,(m=1,2,\dots ,n-1)$ están dados por las fórmulas de Viète.

A partir de la relación sobre $s_n$, junto con Plantilla:Eqnref evaluada en $\lambda =0$ se concluye: Plantilla:Res Nuevamente la definición de determinante, el término ${\lambda }^{n-1}$ aparece solamente del producto $(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})$ y en este caso tiene como coeficiente el valor $-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})$. Puesto que $s_1={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$, siguiendo Plantilla:Eqnref se tiene en función de la traza de A: Plantilla:Eqn A partir de esta relación: sobre una matriz nilpotente sucede: Plantilla:Importante Plantilla:Res De la propiedad C-3, Plantilla:Eqn puesto que $A^k=O$, y como x no es vector nulo resulta $\lambda =0$. Quiere decir que tan sólo 0 es valor propio, y ya que $tr(A)={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n$, queda $tr(A)=0$.

Espectro de una Suma y Producto de Matrices

El conjunto de todos los vectores propios asociados al mismo valor propio es denominado el espacio propio del valor $\lambda$. El conjunto de todos los valores propios de una matriz A es denominado el espectro de A y se denota $\sigma (A)$.

Para dos matrices dadas A y B, se puede responder la inquietud: Plantilla:Eqn Al considerar dos matrices sencillas Plantilla:Eqn se tiene que $1\in \sigma (A)$ y también $1\in \sigma (B)$ pero, $2\notin \sigma (A+B)$. Para el producto, puesto que $AB=O$ inmediatamente la respuesta a la segunda inquietud también es negativa.

Sin embargo, para una matriz muy particular, de la forma Plantilla:Eqn donde A, B, C y la matriz nula O son matrices cuadradas del mismo orden, se cumple que Plantilla:Eqn ya que la presencia de ceros, al plantear todos los productos posibles en el desarrollo de $det(T-\lambda I)$ sólo quedan los que dan lugar a $det(A-\lambda I)$ simultáneamente con los que corresponden a $det(C-\lambda I)$. Con esto se cuncluye que $\sigma (T)=\sigma (A)\cup \sigma (C)$.

Otras consecuencias de la definición Plantilla:Eqnref

A la lista inicial de propiedades dada en la sección 1.1.3.2.1Plantilla:Ref, basadas exclusivamente en la definición Plantilla:Eqnref sobre valor y vector propio, se agregan algunas otras teniendo en cuenta ahora el uso del determinante. Plantilla:Importante Plantilla:Res $\Rightarrow$: Si 0 es valor propio de A, satisface $|A-0I|=0$, es decir $|A|=0$. Así, A es singular.

$\Leftarrow$: Si A es singular, $|A-0I|=|A|=0$, luego 0 es valor propio de A. Plantilla:Importante Si $p(y)=a_0+a_{1}y+a_2{y}^2+\dots +a_k{y}^k$, es cualquier polinomio, entonces se define $p(A)$ como la matriz Plantilla:Eqn Si $(\lambda ,x)$ es un par propio para A, entonces $(p(\lambda ),x)$ es un par propio para $p(A)$. Plantilla:Res Con la propiedad C-3, se tiene Plantilla:Eqn confirmando que $p(A)x=p(\lambda )x$. Plantilla:Res Plantilla:Importante Dada la matriz triangular superior Plantilla:Eqn la matriz $T-\lambda I$, es nuevamente una matriz triangular superior con diagonal principal Plantilla:Eqn de esta manera los valores propios de la matriz triangular superior T, son justamente los elementos de su diagonal principal.

Para el caso de la matriz diagonal, siendo una matriz triangular superior, entonces sus valores propios son los elementos de la diagonal principal. Plantilla:Importante Plantilla:Res Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante Plantilla:Eqn luego si $\lambda \in \sigma (A)$ entonces $\lambda \in \sigma (A^t)$, y recíprocamente. Plantilla:Importante Considere dos n-matrices A y B, siendo la primera de ellas una matriz regular. Entonces AB y BA tienen el mismo polinomio característico. Plantilla:Res Reescribiendo el determinante $det(\lambda I-AB)$, junto con la propiedad D-9 Plantilla:Eqn quedando Plantilla:Eqn de esa manera se obtiene el mismo polinomio característico.

Multiplicidad geométrica y algebraica

Sea $\lambda$ un valor propio de A. Entonces, la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es el número de veces que se repite como raíz del polinómio característico. Cuando la multiplicidad algebraica es 1, $\lambda$ es llamado valor propio simple.

La multiplicidad geométrica de $\lambda$ es la dimensión del espacio nulo $N(A-\lambda I)=x\in C^n|(A-\lambda I)x=O$. En otras palabras, es el número máximo de vectores propios asociados con $\lambda$, linealmente independientes.

Las dos multiplicaciones pueden ser distintas. Por ejemplo, al considerar la matriz Plantilla:Eqn su polinomio característico es $p(\lambda )={\lambda }^2$, con lo cual el valor propio $\lambda =0$ se repite dos veces, así su multiplicidad algebraica es 2. En cuanto a su multiplicidad geométrica, al buscar una base para el espacio nulo $N(A-0I)=N(A)$, al resolver el sistema Plantilla:Eqn resulta la ecuación $y=0$, y de esta manera las soluciones son de la forma Plantilla:Eqn mostrando que sólo hay un vector linealmente independiente, Es decir la multiplicidad geométrica es 1.

Para una matriz diagonal $D=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$, ya se conoce que los valores propios coinciden con los de su diagonal. Ahora, para el espacio propio asociado a uno de ellos. por ejemplo ${\lambda }_k$, la k-ésima fila de la matriz $D-{\lambda }_{k}I$ es nula. En consecuencia el sistema Plantilla:Eqn tiene como solución vectores con componentes 0 salvo la k-ésima. Así la base contiene sólo un vector linealmente independiente, y con ello la multiplicidad geométrica es 1. Entonces, el espacio propio asociado a ${\lambda }_k$ es Plantilla:Eqn

Matrices Simétricas

En la sección 1.4 se planteó que una matriz ortogonal preserva longitudes y productos internos como se muestra en las relaciones Plantilla:Eqnref, Plantilla:Eqnref. A partir de ellas se obtienen conclusiones sobre valores y vectores propios.

Los valores propios de una matriz simétrica son reales

Sea A una n-matriz simétrica y $(\lambda ,x)$ un par propio; esto es Plantilla:Eqn Para establecer que el valor propio $\lambda$ es real, se sigue el desarrollo propuesto en ----. Entonces, se considera el valor propio $\lambda$ en la forma compleja Plantilla:Eqn con el propósito de concluir que $b=0$. Para ello se define la matriz Plantilla:Eqn la cual es una matriz real, hecho que se observa al realizar el producto Plantilla:Eqn ya que $\lambda +\overline{\lambda }$ es el real 2a, con lo que se suman matrices reales para dar lugar a B. Además B es matriz singular puesto que $\lambda I-A$ lo es; de esta manera existe un vector x no nulo, tal que $Bx=O\in R^n$. Ahora con $|\lambda {|}^2=a^2+b^2$, queda Plantilla:Eqn y siendo A simétrica también $(aI-A{)}^t=(aI-A)$, con ello Plantilla:Eqn y puesto que $x^{t}Bx=0$, se concluye que $b=0$; es decir, cada valor propio de la matriz simétria A es real.

Los vectores propios de una matriz simétrica asociada a distintos valores propios son ortogonales

Sean $\lambda ,\mu$ dos valores propios distintos de la matriz simétrica A, y sean x,y sus respectivos valores vectores propios. Entonces Plantilla:Eqn de donde Plantilla:Eqn y al tomar la transpuesta de la primera, siendo A simétrica, da $x^{t}Ay=\lambda x^{t}y$ que al relacionarla con la segunda proporciona Plantilla:Eqn y puesto que $\lambda \ne \mu$ implica que $x^{t}y=0$, confirmando que los vectores propios son ortogonales.

Los valores propios de una matriz orgonal tienen valor absuoluto 1

Sea Q una n-matriz ortogonal y $(\lambda ,x)$ un par propio. Al tomar su norma en Plantilla:Eqnref Plantilla:Eqn y por (1.11a) $\Vert Qx\Vert =\Vert x\Vert$, con lo cual Plantilla:Eqn es decir $|\lambda |=1$. Así, el especto $\sigma (Q)$ está contenido en la circunferencia de centro el origen y radio 1.

Matrices Hermitianas

En la sección 1.4.2 se mencionó que una matriz A es hermitiana si $A=A^H$ $(A^H={\overline{A}}^t)$, es decir, cuando $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$. También, A es una matriz anti hermitiana cuando $A=-A^H$, es decir, cuando $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.

En la verificación de la naturaleza de los valores propios de una matriz hermitiana, se utilizan dos hechos sencillos: Plantilla:Eqn Para el primero, $(AB{)}^H=(\overline{AB}{)}^t=(\overline{A}\overline{B}{)}^t={\overline{B}}^t{\overline{A}}^t=B^H{A}^H$. Con esto, Plantilla:Importante Para una prueba, a partir del complejo $x^{H}Ax$ al efectuar el desarrollo de $(x^{H}Ax{)}^H$, resulta Plantilla:Eqn con lo cual éste debe ser un real.