Análisis matemático/Los números reales

Antes de empezar con el análisis matemático propiamente, nos haremos de una idea del cuerpo de los reales.

Los números

Cuando apenas somos unos niños nos enseñan a contar, contamos aquello que podemos ver, contamos números naturales: $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$, se podría decir que es el conjunto básico.

Luego, a medida que crecemos extendemos este conjunto, y al agregar los negativos junto con el 0 obtenemos los llamados números enteros: $\mathbb{Z}=\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$

La siguiente extensión será a los números racionales, aquellos que se forman al introducir la posibilidad de división entre dos números enteros, como por ejemplo $\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{8}{9}$. A este conjunto lo simboliza con $\mathbb{Q}$.

Si nos detuvieramos aquí estaríamos olvidándonos de un conjunto de números, los números irracionales, los cuales no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros. Entre los irracionales se encuentran por ejemplo $\sqrt{2}$ o $\pi$. A este conjunto se los simboliza con $𝕀$.

A la unión de $𝕀$ con $\mathbb{Q}$ formará el conjunto de los números reales.

$ℝ=𝕀\cup \mathbb{Q}$

Axiomas

Plantilla:VT Un axioma es un postulado que se acepta desde el comienzo, sin demostración alguna.

Suma de números reales

Sea un conjunto: R de los números reales y una ley de composición suma: $\oplus$, tomada como primera ley, definida:

$\begin{array}{cccc}\oplus :& R\times R& ⟶& R\\ & (a,b)& ⟼& c=a\oplus b\end{array}$

Dado que se cumple:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in R\times R,\mathrm{\exists }!c\in R:c=a\oplus b$

Para todo par ordenado (a,b) en R por R, se cumple que existe un único c en R, tal que c es el resultado de sumar a y b.

Normalmente la operación suma de dos números: a, b; se representa:

$a+b$

en esta demostración, dado que la suma es una operación interna, lo representaremos:

$a\oplus b$

Esta notación, normalmente no es necesaria, pero en estos primeros pasos y para evitar posibles confusiones la utilizaremos.

La suma de números reales es un grupo conmutativo o abeliano que es una estructura algebraica de la forma $(R,\oplus )$ donde R es el conjunto de los números reales, en el que se ha definido la suma como ley de composición interna: $\oplus$.

$\begin{array}{cccc}\oplus :& R\times R& ⟶& R\\ & (a,b)& ⟼& c=a\oplus b\end{array}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición: $(R,\oplus )$ es interna si cumple:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in R\times R:\mathrm{\exists }!c\in R|c=a\oplus b$

Para todo par ordenado (a,b) en R por R, se cumple que existe un único c en R, tal que c es el resultado de sumar a y b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(R,\oplus )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in R:(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$

Para todo a, b, c de R se cumple que sumar a con b y el resultado con c es igual a sumar a con el resultado de sumar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento 0 es elemento neutro en $(R,\oplus )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\mathrm{\forall }a\in R:\mathrm{\exists }0\in R|0\oplus a=a\oplus 0=a$

Para todo a de R, se cumple que existe 0 de R, tal que el resultado de sumar 0 con a es igual a sumar a con 0 y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto R respecto de la operación $\oplus$, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$\mathrm{\forall }a\in R:\mathrm{\exists }-a\in R|-a\oplus a=a\oplus (-a)=0$

Un elemento simétrico $-a$ de $a$ en $(R,\oplus )$ es simétrico por la derecha del elemento $a$ y simétrico por la izquierda del elemento $a$. Donde 0 es el elemento neutro.

Dado que R es un conjunto de números y la operación $\oplus$ es la suma de números reales, al elemento simétrico se suele denominar como: elemento opuesto.

5.- Propiedad conmutativa: Dado el conjunto de números reales R, en el que se ha definido una ley de composición interna $\oplus$, que se representa: $(R,\oplus )$, se dice que $\oplus$ tiene la propiedad conmutativa en R si se cumple:

$\mathrm{\forall }a,b\in R:a\oplus b=b\oplus a$

Para todo a, b de R, se cumple que el resultado de sumar a con b es igual al de sumar b con a.

Luego $(R,\oplus )$ es un grupo conmutativo o abeliano.

Producto de números reales

Sea un conjunto: $R^{\ast }$ de los números reales excepto el 0 y una ley de composición producto: $\odot$, tomada como segunda ley, definida:

$\begin{array}{cccc}\odot :& R^{\ast }\times R^{\ast }& ⟶& R^{\ast }\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

Dado que se cumple:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in R^{\ast }\times R^{\ast },\mathrm{\exists }!c\in R^{\ast }:c=a\odot b$

Para todo par ordenado (a,b) en $R^{\ast }$ por $R^{\ast }$, se cumple que existe un único c en $R^{\ast }$, tal que c es el resultado del producto a y b.

Normalmente la operación producto de dos números: a, b; se representa:

$a\times b;a\ast b;a\cdot b;ab$

en esta demostración, dado que el producto es una operación interna, lo representaremos:

$a\odot b$

Esta notación, normalmente no es necesaria, pero en estos primeros pasos y para evitar posibles confusiones la utilizaremos.

El producto de números reales es un grupo conmutativo o abeliano que es una estructura algebraica de la forma $(R^{\ast },\odot )$ donde $R^{\ast }$ es el conjunto de los números reales excepto el 0, en el que se ha definido el producto como ley de composición interna: $\odot$.

$\begin{array}{cccc}\odot :& R^{\ast }\times R^{\ast }& ⟶& R^{\ast }\\ & (a,b)& ⟼& c=a\odot b\end{array}$

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

6.- Operación interna: La ley de composición: $(R^{\ast },\odot )$ es interna si cumple:

$\mathrm{\forall }(a,b)\in R^{\ast }\times R^{\ast }:\mathrm{\exists }!c\in R^{\ast }|c=a\odot b$

Para todo par ordenado (a,b) en $R^{\ast }$ por $R^{\ast }$, se cumple que existe un único c en $R^{\ast }$, tal que c es el resultado del producto a y b.

7.- Propiedad asociativa: La ley de composición: $(R^{\ast },\odot )$ cumple la propiedad asociativa si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in R^{\ast }:(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$

Para todo a, b, c de $R^{\ast }$ se cumple que el producto a con b y el resultado con c es igual al producto de a con el resultado del producto b con c.

8.- Elemento neutro: Un elemento 1 es elemento neutro en $(R^{\ast },\odot )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\mathrm{\forall }a\in R^{\ast }:\mathrm{\exists }1\in R^{\ast }|1\odot a=a\odot 1=a$

Para todo a de $R^{\ast }$, se cumple que existe 1 de $R^{\ast }$, tal que el resultado del producto de 1 con a es igual al producto de a con 1 y es igual a a.

9.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto $R^{\ast }$ respecto de la operación $\odot$, si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$\mathrm{\forall }a\in R^{\ast }:\mathrm{\exists }1/a\in R^{\ast }|1/a\odot a=a\odot (1/a)=1$

Un elemento simétrico $1/a$ de $a$ en $(R^{\ast },\odot )$ es simétrico por la derecha del elemento $a$ y simétrico por la izquierda del elemento $a$. Donde 1 es el elemento neutro.

Aquí podemos ver que el número 0, no tiene simétrico en el producto:

$1/0\notin R$

Por eso la operación producto la hemos definido en $R^{\ast }=R-\{0\}$

Dado que $R^{\ast }$ es un conjunto de números y la operación $\odot$ es el producto de números reales, al elemento simétrico se suele denominar como: elemento inverso ó recíproco.

10.- Propiedad conmutativa: Dado el conjunto de números reales $R^{\ast }$, en el que se ha definido una ley de composición interna $\odot$, que se representa: $(R^{\ast },\odot )$, se dice que $\odot$ tiene la propiedad conmutativa en $R^{\ast }$ si se cumple:

$\mathrm{\forall }a,b\in R^{\ast }:a\odot b=b\odot a$

Para todo a, b de $R^{\ast }$, se cumple que el resultado del producto a con b es igual al del producto b con a.

Luego $(R^{\ast },\odot )$ es un grupo conmutativo o abeliano.

Propiedad distributiva del producto sobre la suma

11.-Propiedad distributiva del producto sobre la suma: Dado un conjunto $R$ en el que se han definidos dos operaciones internas: suma y producto, que expresaremos $(R,\oplus ,\odot )$, se dice que el producto $\odot$ es distributiva por la izquierda sobre la suma $\oplus$ si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in R:a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c)$

Del mismo modo se dice que el producto $\odot$ es distributiva por la derecha sobre la suma $\oplus$ si:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in R:(a\oplus b)\odot c=(a\odot c)\oplus (b\odot c)$

El producto $\odot$ es distributiva sobre la suma $\oplus$ si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

La estructura $(R^{\ast },\oplus ,\odot )$ es un cuerpo conmutativo.

Resumen

Aceptaremos que:

1. $ℝ$ es un cuerpo, y como tal, tiene dos operaciones binarias asociadas la suma ($+$) y el producto ($\times$).
   1. Asociatividad de la suma: $a+(b+c)=(a+b)+c$
   2. Asociatividad del producto: $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$
   3. Conmutatividad de la suma: $a+b=b+a$
   4. Conmutatividad del producto: $a\times b=b\times a$
   5. Existencia del neutro de la suma: $a+0=a$
   6. Existencia del neutro del producto: $a\times 1=a$
   7. Existencia del opuesto: $\mathrm{\forall }a\in ℝ\mathrm{\exists }x\in ℝ,a+x=0$
   8. Existencia del recíproco: $\mathrm{\forall }a\in ℝ-\{0\}\mathrm{\exists }x\in ℝ,a\times x=1$
   9. Distributividad del producto respecto a la suma: $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$