Matemáticas/Matrices/Inversa

Para el cálculo de la inversa de una matriz expondremos dos métodos, usando el proceso de Gauss-Jordan y utilizando el concepto de determinante. Antes de explicar su desarrollo definiremos que es una matriz inversa en el siguiente enunciado:

Si $A$ es una matriz cuadrada de $nxn$, $BA=I$ e $I$ es la matriz identidad de $nxn$, entonces $B$ se llama la inversa de $A$ por la izquierda.

Del anterior enunciado podemos deducir el siguiente teorema:

La matriz $A$ es no singular si y sólo si $T$ es invertible. Si $BA=I$, entonces $B=m(T^{-1})$.

Para encontrar la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan debemos tener una matriz ampliada de la siguiente forma:

Sea la matriz $A$ $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

y la matriz $I$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

La matriz ampliada queda de la forma $\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& |& 1& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& |& 0& 1& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& |& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Aplicando Gauss-Jordan llegamos a la siguiente matriz ampliada $\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& b_{11}& b_{12}& b_{13}\\ 0& 1& 0& |& b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ 0& 0& 1& |& b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$

Donde la matriz $B$, inversa de $A$ es $\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$

El siguiente método es el más usado para el cálculo de matrices inversas, se describe bajo la ecuación $A^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}(adj(A){)}^T$