Matemáticas/Matrices/Multiplicación

Ya vimos en los temas anteriores que se pueden extender las operaciones para los números reales a los sistemas con vectores y matrices, en cuanto a la multiplicación se puede extender en el producto escalar por matriz y el producto entre matrices.

Definición

Sí $𝔸$ es una matriz de n x m, $𝔸=[U_1{U}_2...U_m]$, y $𝔹$ es una matriz de m x k, $𝔹=[V_1{V}_2...V_k]$, el producto $𝔸*𝔹$ es la matriz de n x k, $𝔸*𝔹=[A{V}_{1}A{V}_2...A{V}_k]$ .

Cálculo del producto de matrices

Si $𝔸$ es una matriz de dimensiones m x r y $𝔹$ otra matriz de dimensiones r x n, entonces para calcular el elemento que está en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de $𝔸*𝔹$ y que se denomina $c_{ij}$ se toma el renglón i-ésimo de la matriz A y la columna j-ésima de B. Se multiplican los elementos correspondientes del renglón y la columna y después se suman los productos. Esta expresión equivale a:

$c_{(i,j)}=a_{(i,1)}{b}_{(1,j)}+a_{(i,2)}{b}_{(2,j)}+a_{(i,3)}{b}_{(3,j)}+...+a_{(i,r)}{b}_{(r,j)}$

Seguidamente, se desarrolla un ejemplo con dos matrices de 2 x 2. Sean las siguientes matrices:

$𝔸=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right];𝔹=\left[\begin{array}{ccc}7& 9& 6\\ 3& 4& 5\end{array}\right]$

De acuerdo a lo anterior, el producto se calcula así:

$𝔸*𝔹=\left[\begin{array}{ccc}(2\cdot 7)+(3\cdot 3)& (2\cdot 9)+(3\cdot 4)& (2\cdot 6)+(3\cdot 5)\\ (4\cdot 7)+(5\cdot 3)& (4\cdot 9)+(5\cdot 4)& (4\cdot 6)+(5\cdot 5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}23& 30& 27\\ 43& 56& 49\end{array}\right]$

Como podemos observar, el número de columnas de $𝔸$ debe corresponder al número de renglones que haya en $𝔹$ para que el producto de las matrices esté definido. También, la definición de $𝔸*𝔹$ muestra que la matriz producto tiene idéntica cantidad de filas o renglones que $𝔸$ y de columnas que $𝔹$.

Cálculo parcial del producto de matrices

En ocasiones, no es necesario calcular todos los elementos de un producto de matrices, sino una fila o una columna determinada. Para ello, supondremos que existen dos matrices $𝔸$ y $𝔹$ de dimensiones m x r y r x n, respectivamente. Si se desea calcular los elementos de la fila i-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz $𝔸$ únicamente la fila i-ésima y multiplicarla por la matriz $𝔹$. Esto se representa así:

${𝔸}_i*𝔹=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{(i,1)}& a_{(i,2)}& \dots & a_{(i,r)}\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cccc}{b}_{(1,1)}& b_{(1,2)}& \dots & b_{(1,n)}\\ b_{(2,1)}& b_{(2,2)}& \dots & b_{(2,n)}\\ \dots & \dots & \dots \\ b_{(r,1)}& b_{(r,2)}& \dots & b_{(r,n)}\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{(i,1)}& c_{(i,2)}& \dots & c_{(i,r)}\end{array}\right]$

En el caso de los elementos de la columna j-ésima de la matriz producto, se deberá tomar de la matriz $𝔹$ únicamente la columna j-ésima y multiplicarla por la matriz $𝔸$:

$𝔸*{𝔹}_j=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{(1,1)}& a_{(1,2)}& \dots & a_{(1,n)}\\ a_{(2,1)}& a_{(2,2)}& \dots & a_{(2,n)}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{(r,1)}& a_{(r,2)}& \dots & a_{(r,n)}\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c}{b}_{(1,j)}\\ b_{(2,j)}\\ \dots \\ b_{(r,j)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_{(1,j)}\\ c_{(2,j)}\\ \dots \\ c_{(r,j)}\end{array}\right]$

En ambos casos, cada elemento de la fila i-ésima y columna j-ésima de la matriz producto es calculado así:

$c_{(i,j)}=a_{(i,1)}{b}_{(1,j)}+a_{(i,2)}{b}_{(2,j)}+a_{(i,3)}{b}_{(3,j)}+...+a_{(i,r)}{b}_{(r,j)}$

Propiedades del producto entre matrices

1. $A(BC)=(AB)C$ Propiedad asociativa.
2. $A(B+C)=AB+AC$ Propiedad distributiva izquierda.
3. $(B+C)A=BA+CA$ Propiedad distributiva derecha.
4. $r(AB)=(rA)B=A(rB)$ Para cualquier $r\in ℝ$.
5. $I_{m}A=A=A{I}_n$ Identidad de la multiplicación entre matrices. Las matrices $I_m$ e $I_n$ denotan a la Matriz identidad.

Bibliografía

1. Apuntes de clase de Álgebra Lineal. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
2. ANTON, Howard. Introducción al álgebra lineal. Editorial Limusa, México, 1985. ISBN 968-18-0631-X
3. LAY, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson Educación, México, 2007. ISBN 970-26-0906-2