Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactas

Recordemos que si $z=f(x,y)$, entonces el diferencial total de $z$ se define como

donde $dx$ y $dy$ son números cualesquiera llamados incremento en $x$ e incremento en $y$ respectivamente.

Vemos pues que si $z=f(x,y)$, entonces el diferencial total de $z$ está definido por una expresión de la forma

Si bien el diferencial total de $z=f(x,y)$ siempre viene definido por una expresión de la forma Plantilla:Eqnref, el recíproco no es necesariamente cierto, es decir, una expresión diferencial de la forma Plantilla:Eqnref puede no ser el diferencial total de una función $z$ de $x$ e $y$.

Por el ejemplo 1.6, sabemos que la expresión diferencial

es exacta, pues esta define al diferencial total de la función dada por

Ahora bien, si igualamos a cero una expresión diferencial de la forma Plantilla:Eqnref, resulta la ecuación diferencial (escrita en forma diferencial)

Se dice que esta ecuación diferencial es exacta si el miembro izquierdo de la ecuación es una expresión diferencial exacta. El teorema siguiente nos da las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una ecuación diferencial es exacta.

Demostración: Probaremos primero la implicación. Si la ecuación diferencial

es exacta, entonces existe una función $f$ tal que

Por hipótesis, tenemos que $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial }{\partial x}f(x,y))$ y $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial }{\partial y}f(x,y))$ existen y son continuas en una región $R$, de modo que, por el teorema de Clairaut-Schwarz,

para todo $(x,y)\in R$, es decir,

Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, donde $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ y $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ son continuas en una región $R$. Buscamos una función $f$ que cumpla, en particular, la propiedad de que

La expresión $R(y)$ constituye aquí el equivalente de la constante de integración, ya que está desaparece al tomar la derivada parcial con respecto a $x$.

La otra parte que debe cumplir la función $f$ es que

de donde resulta que

La última igualdad es válida por que, por hipótesis, $P(x,y)$ es continua. Puesto que $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$, tenemos que

Así pues

luego

Tenemos entonces que la función buscada debe cumplir

Para que tal función exista sólo debe exigirse que pueda llevarse a cabo la integración, lo cual sucede si $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ están definidas en una región simplemente conexa $R$ y si $[x_0,y_0]\times [x,y]\subseteq R$, siendo todo esto garantizado por la hipótesis del teorema.

$◼$

Notemos que la prueba del teorema anterior nos da una forma de encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta.