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Ecuaciones diferenciales homogéneas

En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo de sustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma

Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, $\frac{dy}{dx}$ queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado tenemos una expresión en la que $x$ e $y$ aparecen siempre en la forma $\frac{y}{x}$. Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son

Veremos ahora que la sustitución $u=y/x$ transforma una ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable. En efecto, pues si $u=y/x$, entonces

de modo que la ecuación Plantilla:Eqnref se transforma en la ecuación

Esta ecuación es claramente separable, y puede escribirse como

luego en forma diferencial tenemos

así que integrar ambos lados de la ecuación da lugar a una ecuación que definirá la solución general de la ecuación Plantilla:Eqnref.

Ejemplo 1.4

Resolver la ecuación diferencial

Solución: Haciendo $u=\frac{y}{x}$ tenemos que la ecuación diferencial anterior se convierte en

Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos

Puesto que $u=\frac{y}{x}$, tenemos que

que define de manera explícita la solución general de la ecuación diferencial.

Hay ocasiones en que una ecuación diferencial es lo suficientemente parecida a una ecuación diferencial homogénea que un sencillo cambio de variables la transforma en una ecuación diferencial homogénea. Consideremos, por ejemplo, ecuaciones diferenciales de la forma

donde $a,b,c,d,e,h$ son constantes. Si $x\ne 0$, podemos escribir Plantilla:Eqnref como

La ecuación Plantilla:Eqnref es homogénea si $c=h=0$. Si este no es el caso, entonces podemos intentar un cambio de variable del tipo

donde intentaremos escoger $\alpha$ y $\beta$ de manera que éstos anulen las constantes $c$ y $h$. Para esto, vemos que el tipo de sustitución indicado arriba nos deja con la ecuación diferencial de la forma

Por lo tanto, debemos escoger $\alpha$ y $\beta$ de manera que

El sistema de ecuaciones Plantilla:Eqnref tendrá solución para $\alpha$ y $\beta$ si y sólo si

Siendo éste el caso, podemos elegir $\alpha$ y $\beta$ de manera que se satisfaga el sistema Plantilla:Eqnref, y con ello haremos que la ecuación Plantilla:Eqnref se transforme en una ecuación homogénea.