Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Extensión

El axioma de extensión dice: "Dados dos conjuntos $a$ y $b$, diremos que son iguales ($a=b$) si se verifica que $c\in a$ si y sólo si $c\in b$".

Es decir, diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Consecuencias

Como consecuencia de este axioma, podemos decir que dos conjuntos son iguales si se incluyen mutuamente. Más formalmente, sean $a$ y $b$ dos conjuntos. Entonces $a=b$ si y sólo si $a\subset b$ y $b\subset a$.

Recordemos que dadas dos proposiciones lógicas $p$ y $q$, entonces $p\iff q$ es cierta exactamente cuando lo es $(p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$ (es decir, $p$ y $q$ son proposiciones equivalentes).

Así, en nuestro caso, $c\in a\iff c\in b$ es equivalente a la proposición $(c\in a\Rightarrow c\in b)\wedge (c\in b\Rightarrow c\in a)$. Ahora bien, por la definición de inclusión de conjuntos, esta proposición es equivalente a $a\subset b\wedge b\subset a$, como queríamos demostrar.