Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables/Introducción

Dado un sistema rectangular de coordenadas cartesianas en el plano o el espacio tridimensional y dados $x$ y $y$ que pertenezcan a cualquiera de estos dos donde $x=(x_1,x_2)$ y $y=(y_1,y_2)$ si estan en el plano y $x=(x_1,x_2,x_3)$ y $y=(y_1,y_2,y_3)$ en el espacio tridimensional se define:

En el plano: ${\rho }_{(x,y)}=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}$

En el espacio tridimensional: ${\rho }_{(x,y)}=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2}$

Donde ${\rho }_{(x,y)}$ es la distancia entre $x$ y $y$.

Definido el concepto de distancia en el plano y en el espacio tridimensional, ahora se va a definir la idea de distancia en un espacio de dimensión $n$, pero primero se ha de definir que es un espacio n-dimensional.

Definición 1 (Espacio n-dimensional)

Un espacio n-dimensional es aquel donde cualquier punto $x$ perteneciente a éste se puede expresar como un conjunto ordenado $(x_1,x_2,...,x_n)$ es decir

$x=(x_1,x_2,...,x_3)$

Donde $x_i$, $i=1,2,...,n$; es una componente de $x$.

Este espacio n-dimensional se puede representar, en este caso, como ${ℝ}^n$

Definición 2 (Distancia en un espacio n-dimensional)

Dados $x,y\in {ℝ}^n$ se define la distancia entre $x$ y $y$ de la siguiente manera:

${\rho }_{(x,y)}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$

Definición 3

El espacio n-dimensional donde para cada par de puntos $x,y\in {ℝ}^n$ está definido ${\rho }_{(x,y)}$ se le llama espacio euclídeo n-dimensional.

Propiedades de la distancia entre dos puntos en el espacio n-dimensional

De la definición expuesta anteriormente se coligen las siguientes propiedades de la definición de distancia de dos punto en un espacio n-dimensional.

Dados $x,y\in {ℝ}^n$ se tiene

Propiedad 1

${\rho }_{(x,y)}\ge 0$

Esto se deduce inmediatamente ya que por definición ${\rho }_{(x,y)}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$.

Propiedad 2

Para ${\rho }_{(x,y)}=0$ es necesario y suficiente que $x=y$

Demostración de suficiencia

Si $x=y$ entonces se tiene que $x_i=y_i$ para $i=1,2,...,n$ y de alli

${\rho }_{(x,y)}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{0}^2}$

${\rho }_{(x,y)}=0$

Demostración de necesidad

Puesto que ${\rho }_{(x,y)}=0$ es decir $\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}=0$ se obtine que

$(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+...+(x_n-y_n{)}^2=0$

Haciendo ${\alpha }_i=x_i-y_i$ para $i=1,2,...,n$ entonces

${{\alpha }_1}^2+{{\alpha }_2}^2+...+{{\alpha }_n}^2=0$

Como resultado se tiene que ${\alpha }_i=0$ para $i=1,2,..,n$ ya que si al menos un ${\alpha }_k\ne 0$ para $1\le k\le n(k\in \mathbb{N})$ se tendría

$0<{{\alpha }_1}^2+{{\alpha }_2}^2+...+{{\alpha }_n}^2=0$

Lo cual sería una contradicción, por lo tanto $x_i=y_i$ para $i=1,2,...,n$ y esto implica $x=y$.

Propiedad 3

${\rho }_{(x,y)}={\rho }_{(y,x)}$

Es obvio ya que $\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-x_i{)}^2}$

Propiedad 4

${\rho }_{(x,y)}\le {\rho }_{(x,z)}+{\rho }_{(z,y)}$ para cualquier $z\in {ℝ}^n$