Trigonometría/Tabla trigonométrica

El uso de la trigonometría en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

La tabla

Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en grados sexagesimales, desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.

Tabla trigonométrica

Ejemplo: cual es el seno de 5,4 grados, o lo que es lo mismo el seno de 5°24′:

en la fila del cinco, y la columna del 0,4 tenemos:

$\sin (5,4)=0,094108$

Para otros valores

En la tabla podemos encontrar el seno de un ángulo comprendido entre 0 y 45 grados, naturalmente podría confeccionarse una tabla hasta 90 grados, pero esto no es necesario, porque como vamos a ver se puede determinar los valores para ángulos superiores a 45, así como el valor del coseno y de la tangente

Partiendo de un triángulo ABC, rectángulo en C, podemos ver las siguientes relaciones:

Según la definición de las funciones seno y coseno:

$[1]\mathrm{sen}\alpha =\cos \beta =\frac{a}{c}$

$[2]\cos \alpha =\mathrm{sen}\beta =\frac{b}{c}$

por el Teorema de Pitágoras:

$[3]c^2=a^2+b^2$

y al ser ángulos complementarios:

$[4]\alpha +\beta =90^o$

Con esta cuatro relaciones y la tabla anterior podemos determinar los valores de las funciones.

sin(α): y 45 < α < 90

Partiendo de la relación [3]:

$c^2=a^2+b^2$

y dividiendo por c al cuadrado, tenemos:

$\frac{c^2}{c^2}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$

esto es:

$1={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2$

sustituyendo de [1] y [2]:

$1={\sin }^2(\alpha )+{\sin }^2(\beta )$

sustituyendo de [4], tenemos:

$1={\sin }^2(\alpha )+{\sin }^2(90-\alpha )$

ordenando términos:

${\sin }^2(\alpha )=1-{\sin }^2(90-\alpha )$

y por fin:

$\sin (\alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(90-\alpha )}$

con lo que partiendo de un $\alpha$ comprendido entre 45 y 90 grados su seno es la raíz cuadrada de 1 menos el cuadrado del seno de 90 menos $\alpha$, donde $(90-\alpha )$ se puede buscar en la tabla.

Ejemplo

Cual es el seno de 50,6°.

Como 50,6° es mayor de 45°, aplicamos la expresión:

$\sin (\alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(90-\alpha )}$

con $\alpha =50,6$

$\sin (50,6)=\sqrt{1-{\sin }^2(90-50,6)}$

operando:

$\sin (50,6)=\sqrt{1-{\sin }^2(39,4)}$

en la tabla tenemos el valor del seno:

$\sin (39,4)=0,634731$

para sustituir en la ecuación:

$\sin (50,6)=\sqrt{1-(0,634731{)}^2}$

operando y haciendo los cálculos tenemos, por fin:

$\sin (50,6)=0,772733$

cos(α): y 0 < α < 45

Como en el caso anterior partiendo de la relación [3]:

$c^2=a^2+b^2$

y dividiendo por c al cuadrado:

$\frac{c^2}{c^2}=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$

que resulta:

$1={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2$

sustituyendo de [1] y de [2] el coseno:

$1={\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )$

ordenando términos:

${\cos }^2(\alpha )=1-{\sin }^2(\alpha )$

que da por resultado:

$\cos (\alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha )}$

pudiéndose calcular $\cos (\alpha )$ para un $\alpha$ comprendido entre 0 y 45 grados, a partir de $\sin (\alpha )$ que encontramos en la tabla.

Ejemplo

Cual es el coseno de 12°24′, esto es:

$\cos (12,4)$

según lo anterior:

$\cos (\alpha )=\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha )}$

que en este caso:

$\cos (12,4)=\sqrt{1-{\sin }^2(12,4)}$

buscando en la tabla, tenemos el valor del seno:

$\sin (12,4)=0,214735$

sustituyendo el valor del seno en la expresión:

$\cos (12,4)=\sqrt{1-(0,214735{)}^2}$

realizando las operaciones, da como resultado:

$\cos (12,4)=0,976672$

que es el valor del coseno buscado.

cos(α): y 45 < α < 90

Este caso es muy sencillo, partimos de las relaciones [2] y [4]:

$[2]\cos (\alpha )=\sin (\beta )=\frac{b}{c}$

$[4]\alpha +\beta =90^o$

y sustituyendo: $\beta$ en [2] tenemos que:

$\cos (\alpha )=\sin (90-\alpha )$

con lo que obtenemos el coseno de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo

Cual es el coseno de 75°.

Según la expresión anterior:

$\cos (75)=\sin (90-75)$

esto es:

$\cos (75)=\sin (15)$

buscando en la tabla tenemos que:

$\cos (75)=\sin (15)=0,258819$

que es la solución al problema planteado.

tan(α): y 0 < α < 45

Para el calculo de la tangente usaremos la expresión:

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$

empleando las deducciones del seno y el coseno hecho ya en las secciones anteriores, para un ángulo comprendido entre 0 y 45° tendremos que:

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\sqrt{1-{\sin }^2(\alpha )}}$

Ejemplo

Cual es la tangente de 32,1°.

Según lo anterior, tenemos:

$\tan (32,1)=\frac{\sin (32,1)}{\sqrt{1-{\sin }^2(32,1)}}$

Mirando en la tabla el valor del seno, tenemos que:

$\sin (32,1)=0,531399$

que sustituyéndolo en la expresión tenemos:

$\tan (32,1)=\frac{0,531399}{\sqrt{1-(0,531399{)}^2}}$

operando:

$\tan (32,1)=\frac{0,531399}{0,847122}$

que por fin da:

$\tan (32,1)=0,627299$

tan(α): y 45 < α < 90

Del mismo modo podemos determinar la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°:

$\tan (\alpha )=\frac{\sqrt{1-{\sin }^2(90-\alpha )}}{\sin (90-\alpha )}$

ampliando la raíz al denominador:

$\tan (\alpha )=\sqrt{\frac{1-{\sin }^2(90-\alpha )}{{\sin }^2(90-\alpha )}}$

descomponiendo la fracción:

$\tan (\alpha )=\sqrt{\frac{1}{{\sin }^2(90-\alpha )}-\frac{{\sin }^2(90-\alpha )}{{\sin }^2(90-\alpha )}}$

simplificando tenemos:

$\tan (\alpha )=\sqrt{\frac{1}{{\sin }^2(90-\alpha )}-1}$

esta expresión, nos permite calcular la tangente partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo

Cuanto vale la tangente de 53°

Al ser la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, tenemos que:

$\tan (53)=\sqrt{\frac{1}{{\sin }^2(90-53)}-1}$

operando:

$\tan (53)=\sqrt{\frac{1}{{\sin }^2(37)}-1}$

de la tabla sacamos:

$\sin (37)=0,601815$

sustituyendo este valor:

$\tan (53)=\sqrt{\frac{1}{(0,601815{)}^2}-1}$

operando:

$\tan (53)=\sqrt{2,761048-1}$

esto es:

$\tan (53)=\sqrt{1,761048}$

y por fin, realizando la raíz, tenemos:

$\tan (53)=1,327045$

que es el valor solicitado.

Enlaces externos

• Tablas Matemáticas de David: Tablas de Trigonometría
• TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• Tabla de funciones trigonométricas