Tablas estadísticas/Distribución normal

La distribución normal tipificada tiene por función de densidad:

$f(x)=\frac{e^{-\frac{1}{2}(x{)}^2}}{\sqrt{2\pi }}$

La función de distribución para $Z<x$, seria:

$P(Z<x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)du$

donde:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(u)du=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi }}du$

La tabla distribución normal tipificada, presenta las soluciones a esta integral para distintos valores de x, hay varios modelos de tablas de este tipo, así como algoritmos para su cálculo por ordenador, podemos ver un ejemplo de este tipo de tablas.

Convenio de denominación

La distribución normal tiene por función de densidad:

$f(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$

que depende de dos parámetros: $\mu ,\sigma$, lo que también se puede expresar:

$f_{(\mu ,\sigma )}(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$

Como esta distribución se denomina Normal, suele emplearse la letra N(ene mayúscula) para representarla:

$N_{(\mu ,\sigma )}(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$

y también Campana de Gauss:

$G_{(\mu ,\sigma )}(x)=\frac{e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{\sigma \sqrt{2\pi }}$

estas denominaciones suelen depender de los distintos autores, y pueden consultarse publicaciones que las emplean. Aquí emplearemos $N_{(\mu ,\sigma )}(x)$ al considerarla la más extendida.

Cuando los valores de $\mu =0,\sigma =1$, se denomina distribución normal tipificada.

La función de distribución $P(Z<x)$, se representa:

$P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{N}_{(\mu ,\sigma )}(x)dx$

En la distribución normal tipificada se suele emplear como variable la letra Z, y en las no tipificadas la X, para la función de distribución en mayúscula.

Esta integral no tiene solución conocida, y por tanto solo se pueden obtener resultados por cálculo numérico, tradicionalmente se han desarrollado tablas con los resultados de esta integral, como la siguiente.

La tabla

Esta tabla de doble entrada, presenta la probabilidad para Z < x, de la distribución normal acumulada, para valores de x iguales o mayores que cero, en la fila superior esta la parte entera de x, y en la columna de la izquierda los dos primeros decimales, en la casilla donde se cruzan la fila y la columna correspondientes, figura el valor de la probabilidad de que Z < x, con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco para facilitar la lectura.

Tabla distribución normal acumulada

Ejemplo: buscar la probabilidad normal acumulada de que Z < 2,04.

En la columna del 2 y la fila del 0,04, esta el valor 0,979324, esto es: P(Z_{(0, 1)} < 2,04) = 0,979324 ó 97.93% de probabilidad.

Para otros valores

En la tabla anterior se pueden buscar los valores de la probabilidad normal tipificada:

$P(Z_{(0,1)}<x)$

para valores de x mayores o iguales a cero, como el ejemplo anterior, hay más casos, que con los datos de la tabla se pueden resolver.

Para x < 0

$P(Z_{(0,1)}<-x)$

Para hacer este cálculo hay que tener en cuenta lo siguiente:

sabiendo que la suma de la probabilidad de que Z sea menor que un valor, más la probabilidad de que sea mayor que ese valor es uno:

$P(Z_{(0,1)}<x)+P(Z_{(0,1)}>x)=1$

despejando:

$P(Z_{(0,1)}>x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)$

Y sabiendo que la función normal tipificada es simétrica respecto al eje x = 0:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=P(Z_{(0,1)}>x)$

y sustituyendo, tenemos que:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)$

Donde el valor:

$P(Z_{(0,1)}<x)$

se busca en la tabla.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}<-1,32)$

los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=1-P(Z_{(0,1)}<1,32)$

según la tabla:

$P(Z_{(0,1)}<1,32)=0,906582$

por tanto:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=1-0,906582$

que resulta:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=0,093417$

Probabilidad de Z > x y x > 0

$P(Z_{(0,1)}>x)yx>0$

Como en el caso anterior partimos de:

$P(Z_{(0,1)}<x)+P(Z_{(0,1)}>x)=1$

despejando:

$P(Z_{(0,1)}>x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)$

y el valor:

$P(Z_{(0,1)}<x)$

se busca en la tabla.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}>2,11)$

según el cálculo anterior:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=1-P(Z_{(0,1)}<2,11)$

de la tabla tenemos:

$P(Z_{(0,1)}<2,11)=0,982570$

lo que resulta:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=1-0,982570$

que resulta:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=0,017430$

Probabilidad de Z > x y x < 0

Para calcular:

$P(Z_{(0,1)}>-x)$

Partimos de la simetría de la función normal tipificada:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=P(Z_{(0,1)}>x)$

y sustituyendo:

$x=-y$

resulta:

$P(Z_{(0,1)}<y)=P(Z_{(0,1)}>-y)$

ordenando

$P(Z_{(0,1)}>-y)=P(Z_{(0,1)}<y)$

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}>-2,02)$

Según lo anterior:

$P(Z_{(0,1)}>-2,02)=P(Z_{(0,1)}<2,02)$

buscando el valor en la tabla, tenemos que:

$P(Z_{(0,1)}>-2,02)=P(Z_{(0,1)}<2,02)=0,978308$

Probabilidad de x₁ < Z < x₂

Para calcular la probabilidad de que la variable se encuentre entre dos valores x1 y x2, siendo x1 < x2 se tiene en cuenta que:

$P(x_1<Z_{(0,1)}<x_2)=P(Z_{(0,1)}<x_2)-P(Z_{(0,1)}<x_1)$

los valores de cada una de estas probabilidades se buscan en la tabla por separado, o se calculan según el caso, por los métodos anteriores.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)$

se buscan en la tabla las probabilidades:

$P(Z_{(0,1)}<1,50)=0,933192$

$P(Z_{(0,1)}<2,00)=0,977249$

Luego, según lo anterior:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=P(Z_{(0,1)}<2.00)-P(Z_{(0,1)}<1,50)$

esto es:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=0,977249-0,933192$

Realizando la operación:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=0,044057$

Interpolación lineal

Cuando el valor de x es de mayor precisión que los contenidos en la tabla, en este caso cuando tenga mas de dos cifras decimales, el método de calcular la probabilidad es empleando interpolación lineal.

La expresión:

$y=\frac{(x-x1)}{(x2-x1)}(y2-y1)+y1$

nos permite calcular la probabilidad para los valores no contenidos en la tabla. Esta expresión siempre añade un cierto error, al sustituir la función y =f(x) por la recta que pasa por dos puntos conocidos y = r(x), por eso es conveniente que los puntos x1 y x2 estén lo mas próximos posible.

ejemplo

Calcular la probabilidad normal tipificada de que Zp < 2,2345

el valor 2,2345 no viene en la tabla, pero los valores 2,23 y 2,24 si:

$P(Z_{(0,1)}<2,23)=0,987126$

$P(Z_{(0,1)}<2,24)=0,987454$

Según la expresión:

$y=\frac{(x-x1)}{(x2-x1)}(y2-y1)+y1$

tenemos:

$y=\frac{(2,2345-2,23)}{(2,24-2,23)}(0,987454-0,987126)+0,987126$

operando:

$y=\frac{(0,0045)}{(0,01)}(0,000328)+0,987126$

esto es:

$y=0,000147+0,987126$

que da como resultado:

$y=0,987274$

Que es la solución al problema

$P(Z_{(0,1)}<2,2345)=0,987274$

Tipificación

Hasta ahora solo hemos visto probabilidades de distribución normal tipificada, con $\mu =0,\sigma =1$, pero $\mu$, puede tomar cualquier valor real y $\sigma$ puede ser cualquier valor real estrictamente positivo, $\sigma >0$, esto daría lugar a que seria necesaria una tabla para cada par de valores de $\mu ,\sigma$, afortunadamente esto no es necesario.

Dado que si a una función normal $P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)$ se le resta su media ($\mu$) y se divide por la desviación típica ($\sigma$) , se obtiene su equivalente en distribución normal tipificada:

$P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)=P(Z_{(0,1)}<\frac{x-\mu }{\sigma })$

Esto nos permite emplear una sola tabla en todos los casos, primero tipificando la variable y luego calcular su valor en la tabla distribución normal tipificada, como en los casos ya vistos.

ejemplo

Calcular la probabilidad de que x < 3,14 para una distribución normal de media 0,19 y desviación típica 1,25.

La pregunta es:

$P(Z_{(0,19,1,25)}<3,14)$

Tipificando:

$P(Z_{(0,19,1,25)}<3,14)=P(\frac{Z_{(0,19,1,25)}-0,19}{1,25}<\frac{3,14-0,19}{1,25})$

Lo que resulta:

$P(Z_{(0,19,1,25)}<3,14)=P(Z_{(0,1)}<\frac{3,14-0,19}{1,25})$

operando:

$P(Z_{(0,19,1,25)}<3,14)=P(Z_{(0,1)}<2,36)$

Buscando 2,36 en la tabla, tenemos:

$P(Z_{(0,19,1,25)}<3,14)=P(Z_{(0,1)}<2,36)=0,990862$

Tabla inversa de distribución normal tipificada

La tabla inversa en contra de lo visto hasta ahora, parte de la probabilidad y determina la abscisa que deja a su izquierda esa probabilidad. Respondiendo a la pregunta: cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad p conocida.

A continuación podemos ver una tabla de distribución normal tipificada inversa, en la fila superior tenemos la primera cifra de la probabilidad y en la columna de la izquierda las dos segundas, donde se cruzan la fila y la columna tenemos el valor de x para esa probabilidad, representado con seis cifras decimales separadas de tres en tres con un espacio en blanco para facilitar la lectura.

Tabla distribución normal tipificada, inversa

Ejemplo: Cual es el valor de x que en una distribución normal tipificada, deja a su izquierda una probabilidad del 70,5%, esto es:

$P(Z_{(0,1)}<x)=0,705$

buscando en la columna del 0,7 y la fila del 0,005, tenemos que:

$x=0,538836$

esto es:

$P(Z_{(0,1)}<0,538836)=0,705$

Bibliografía

• Calot, Gérard; Curso de estadística descriptiva (1988); Thomson Paraninfo,S.A.; ISBN 84-283-0563-3
• Muro Sáenz, Fernando; Estadística práctica. (1988); Muro Sáenz, Fernando ; ISBN 84-404-1560-5
• Pérez Díez de los Ríos, José Luis; Modelos probabilísticos y tablas estadísticas (1993); AUTOR-EDITOR 9; ISBN 84-604-5056-2
• Pérez Díez de los Ríos, José Luis; Modelos probabilísticos y tablas estadísticas (2000); Mergablum. Edición y Comunicación, S. L.; ISBN 84-95118-14-9
• Visauta Vinacua, Bienvenido ; Batallé Descals, Pere; Tablas estadísticas (1986); PPU, S.A.; ISBN 84-7665-057-4