Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Ecuaciones Cuadricas

Ecuación cartesiana

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$

• La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0$

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

$(x+y+z{)}^2=0$

que equivale a:

$x+y+z=0$,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

• A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:

$D=0,E=0,F=0$

entonces los términos lineales para cada variable:

$Gx,Hy,Iz$

pueden asimilarse a los cuadráticos:

$A{x}^2,B{y}^2,C{z}^2$

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, $(0,0,0)$, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).