Matemáticas/Transformada de Laplace/Propiedades

Propiedades

Dualidad

$ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$

Desplazamiento de la frecuencia

$ℒ\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$

Desplazamiento temporal

$ℒ\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

${ℒ}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t-a)u(t-a)$

Nota: $u(t)$ es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

$ℒ\{t^{n}f(t)\}=(-1{)}^n{D}_s^n[F(s)]$

Convolución

$ℒ\{f*g\}=F(s)G(s)$

Condiciones de convergencia

$ℒ\{(e^{t^2})\}$ (que crece más rápido que $e^{-st}$) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que $e^{t^2}$, es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función $f\in \epsilon$ derivable a trozos y que $f^{\prime }\in \epsilon .$ Entonces :

$f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

$\epsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Sea$f\in \epsilon$ una función derivable a trozos tal que $f^{\prime }\in \epsilon$.Entonces :

$f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$

$\epsilon$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.