Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Anillos conmutativos

Definicion

Sea A un conjunto no vacío, y sean $+$ y $\cdot$ las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto $(A,+,\cdot )$ es un anillo conmuntativo por que se cumple con las siguientes propiedades:

1.	A es cerrado bajo la operación de la suma $+$.	$\mathrm{\forall }a,b\in A,a+b\in A$
2.	La operación $+$ es asociativa.	$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,(a+b)+c=a+(b+c)$
3.	La operación $+$ tiene a n como elemento neutro.	$\mathrm{\forall }a\in A,a+n=n+a=a$
4.	Existe un elemento simétrico para $+$.	$\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }b\in A,a+b=b+a=n$

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5.

La operación $+$ es conmutativa.

$\mathrm{\forall }a,b\in A,a+b=b+a$

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6.	A es cerrado bajo la operación $\cdot$.	$\mathrm{\forall }a,b\in A,a\cdot b\in A$
7.	La operación $\cdot$ es asociativa.	$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
8.	La operación $\cdot$ es distributiva respecto de $+$.	$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,\{\begin{array}{c}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\end{array}$

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9.

La operación $\cdot$ es conmutativa.

$\mathrm{\forall }a,b\in A,a\cdot b=b\cdot a$

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:

• R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
• R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
• R3. La multiplicación ($\cdot$) es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Anillo Conmutativo Unitario

Se considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación

$\mathrm{\forall }a\in R,(a\cdot 1=a=1\cdot a)$

Ejemplos

• Todos los Números Racionales Q ,Reales R y Complejos C forman un anillo conmutativo unitario

Propiedades

• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.