Matemáticas/Números/Naturales/MCM y MCD

Para encontrar el MCM y el MCD de dos o más números dados, usaremos el método de la descomposición prima. Decimos que un número está expresado en su descomposición prima cuando el número está escrito como producto solamente de números primos. Para entender esto último, veamos la descomposición prima de algunos números:

$15=3\times 5$ $24=2\times 2\times 2\times 3$ $36=2\times 2\times 3\times 3$ $40=2\times 2\times 2\times 5$

Los procedimientos para determinar el MCM y el MCD de una cantidad de números fijos son: El MCM de dos o más números queda determinado por el producto de cada factor primo elevado al mayor exponente al que se encuentra. El MCD de dos o más números queda determinado por el producto de los factores primos comunes a todos los números, elevados al menor exponente con que se encuentren.

Para desarrollar la técnica descrita, buscamos el MCM y el MCD de los números 36, 48 y 120. Empezamos escribiendo las descomposiciones primas de cada número. Tenemos

$36=2^2\times 3^2$ $48=2^4\times 3$ $120=2^3\times 3\times 5$

Entonces, para el MCM usamos cada factor primo, una sola vez, elevado a la mayor potencia con la que aparece. En este caso, el MCM es:

$\begin{array}{cc}{2}^4\times 3^2\times 5& =16\times 9\times 5\\ & =720\\ \end{array}$

Para el MCD, usamos los factores primos que se repiten en todas las expresiones, elevados a su menor potencia. En este caso se repiten en todos el 2 y 3. Luego, el MCD es

$\begin{array}{cc}{2}^2\times 3& =4\times 3\\ & =12\\ \end{array}$

Finalmente tenemos una fórmula que nos permite relacionar mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Si a y b son dos números naturales, entonces

$MCM\times MCD=a\times b$

Podemos chequear esta fórmula con los siguientes números $12$ y $18$.

$12=2^2\times 3$ $18=2\times 3^3$

Su MCD es:

$2\times 3=6.$

Entonces podemos calcular

$12\times 18=216.$