Porcentaje

Definición

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 ("por ciento" significa de cada 100).

Se representa el procentaje de un número con el símbolo $\mathrm{\%}$.

En términos prácticos, se llama tanto por ciento de un número a una o más partes de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número.

Ejemplo

Por ejemplo, si se divide $120$ en $100$ partes iguales, cada parte vale $1,2$.

Así, si queremos el 20$\mathrm{\%}$ de 120, tomamos 20 veces el valor 1,2, que da 24.

Luego, el 20$\mathrm{\%}$ de 120 es 24.

Tipos de ejercicios con porcentaje

Para resolver ejercicios relacionados a porcentajes, se utiliza la siguiente proporcón:

Si el número $x$ representan el $y\mathrm{\%}$ de un número $z$, entonces se tiene que

$\frac{z}{x}=\frac{100}{y}$

Se presentan los siguientes casos de ejercicios con porcentaje:

Determinar el tanto por ciento de un número

Queremos encontrar el 25$\mathrm{\%}$ de 150.

Sol: Tenemos que 150 representa al 100$\mathrm{\%}$. Luego, al reemplazar en la proporción, tenemos que

$\frac{150}{x}=\frac{100}{25}$

lo que implica que el 25$\mathrm{\%}$ de 150 es igual a 37,5.

Determinar un número dado un tanto por ciento de él

Queremos determinar de qué número 18 es el 72$\mathrm{\%}$.

Sol: La incógnita es el número que representa al 100$\mathrm{\%}$. Luego, al reemplazar en la proporción, tenemos que

$\frac{x}{18}=\frac{100}{72}$

lo que implica que el número buscado es $x=25$.

Determinar el tanto por ciento que representa un número de otro dado

Queremos determinar qué porcentaje es 30 de 120.

Sol: Reemplazando los datos en la proporción, tenemos que

$\frac{120}{30}=\frac{100}{x}$

Despejando, se tiene que $x=25\mathrm{\%}$.

Determinar un tanto por ciento más

Queremos determinar de qué número 180 es un 10$\mathrm{\%}$ más.

Sol: Buscamos un número que representa el 100$\mathrm{\%}$, sabiendo que 180 representa el 110$\mathrm{\%}$ del número. Reemplazando en la proporción, tenemos que

$\frac{x}{180}=\frac{100}{110}$

Despejando, tenemos que el número buscado es $x=163,6$.

Determinar un tanto por ciento menos

Queremos determinar de qué número 168 es el 4$\mathrm{\%}$ menos.

Sol: Buscamos un número que representa el 100$\mathrm{\%}$, sabiendo que 168 representa el 96$\mathrm{\%}$ del número. Reemplazando en la proporción, tenemos que

$\frac{x}{168}=\frac{100}{96}$

Despejando, tenemos que el número buscado es $x=175$.

Aplicaciones

Interés Simple

El interés simple es el beneficio o ganancia que otorga un capital luego de una operación financiera. Este beneficio depende únicamente del capital inicial invertido.

Para calcular el interés simple, usamos la fórmula

$I=\frac{C*T*\mathrm{\%}}{K}$

donde $I$ es el interés generado, $C$ es el capital inicial, $T$ es el tiempo, $\mathrm{\%}$ es el porcentaje acordado y $K$ es una constante dada por

• $K=100$ cuando el tiempo está expresado en años
• $K=1200$ cuando el tiempo está expresado en meses
• $K=36000$ cuando el tiempo está expresado en días

Por convención, los meses se fijan en 30 días y los años en 360 días.

Ejemplo

Se pide un préstamo de $40.000 para pagar en dos años con un 3$\mathrm{\%}$ de interés. ¿Cuánto se habrá pagado al cabo de los dos años?

Sol: Calculamos el interés considerando que $K=100$, pues el tiempo está representado en años. Tenemos que

$I=\frac{40.000*2*3}{100}=2.400$

Luego, al cabo de los dos años se habrán pagado $42.400.

Interés Compuesto

El interés compuesto es la acumulación de intereses durante un periodo en el cual los intereses que se obtienen se suman al capital inicial, generando una capitalización del dinero.

El interés compuesto, para el tiempo dado en años, se calcula de la siguiente forma:

$C_f=C_i{(1+\frac{\mathrm{\%}}{100})}^T$

donde $C_i$ representa el capital inicial, y $C_f$ representa el capital final.

Ejemplo

Se pide calcular el interés compuesto de $20.000 al 3$\mathrm{\%}$ anual durante dos años.

Sol: Reemplazando los datos en la fórmula asociada al interés compuesto, tenemos que

$C_f=20.000{(1+\frac{3}{100})}^2=21.218$

El capital final, después de dos años, es de $21.218, lo que implica que los intereses generados son $1.218.

Ejercicios Propuestos

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Porcentaje.