Mecánica cuántica/Operadores creación y aniquilación

Bosones: Se define un estado $|n⟩$ como el de un sistema de $n$ partículas idénticas todas ellas en el mismo estado. Se define un operador $a$ tal que

$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

a: operador de destrucción o aniquilación (transforma un estado de n partículas en uno de n-1 partículas).

$⟨n|a^{†}=\sqrt{n}⟨n-1|$

$⟨n|a^{†}a|n⟩=n⟨n-1|n-1⟩=n$

$\Rightarrow a^{†}a|n⟩=n|n⟩$

Al operador $a^{†}a\equiv N$ le llamamos operador número porque cuenta el número de partículas en el estado $|n⟩$.

$a^{†}a|n+1⟩=(n+1)|n+1⟩$

$a^{†}\sqrt{n+1}|n⟩\Rightarrow a^{†}|n⟩\sqrt{n+1}|n+1⟩$

Por eso al operador $a^{†}$ le llamamos operador creación. Es el dual del operador destrucción.\\

$⟹[a,a^{†}]=a{a}^{†}-a^{†}a=ℐ$

Demostración:

$a{a}^{†}|n⟩=(n+1)|n⟩$

$a^{†}a|n⟩=n|n⟩$

$(a{a}^{†}-a^{†}a)|n⟩=|n⟩$

El estado $|0⟩$ se denomina "vacío" $⟨0|0⟩=1$

$a|0⟩=0$

"El vacío es lo que queda cuando quito todo lo que puedo quitar"

$|n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{†}{)}^n|0⟩$

El formalismo puede extenderse a $n$ partículas idénticas de las cuales $n_1$ están en el estado $|1⟩$, $n_2$ en $|2⟩$, etc.

$|n_1,n_2\dots ⟩(\sum n_i=n)$

(se sobrenetiende que el estado está simetrizado $n_i$: número de ocupación).

Se definen los operadores de destrucción $a_i$ y creación $a_i^{†}$ de partículas en el estado $|i⟩$ del modo siguiente:

$a_i|n_1\dots n_i\dots ⟩=\sqrt{n_i}|n_1\dots n_i-1\dots ⟩$

$\Rightarrow a_i^{†}|n_1\dots n_i\dots ⟩=\sqrt{n_i+1}|n_1\dots n_i+1\dots ⟩$

$\to$ El operador número $N_i=a_i^{†}{a}_i$

$N_i|n_1\dots n_i\dots ⟩=n_i|n_1\dots n_i\dots ⟩$

$⟹$ $[a_i,s_j^{†}]={\delta }_{ij}ℐ$

$[a_i,a_j]=0=[a_i^{†},a_j^{†}]$

$(|0⟩\equiv |00\dots ⟩)$

$\to |n_1{n}_2\dots ⟩=\frac{1}{\sqrt{n_1!n_2!\dots }}(a_1^{†}{)}^{n_1}(a_2^{†}{)}^{n_2}|0⟩$

Si los estados $|i⟩$ forman un continuo el formalismo define una teoria cuántica de campos.

Fermiones: Si el estado (antisimetrizado) de n partículas idénticas correspondeiente a fermiones, $|n_1{n}_2\dots ⟩$, los números de ocupación deben ser igual a 0 o 1.

El operador de destrucción se define

$a_i|n_1\dots n_i\dots ⟩\equiv (-1{)}^{{\nu }_i}{n}_i|n_1\dots 1-n_i\dots ⟩$

${\nu }_i=\sum _{k=1}^{i-1}{n}_k$

$\Rightarrow a_1^{†}|n_1\dots n_i\dots ⟩=(-1{)}^{{\nu }_1}(1-n_i)|n_1\dots 1-n_i\dots ⟩$

que cuenta bien tanto si es 0 como si es 1

$N_i=a_i^{†}{a}_i$

$N_i|n_1\dots n_i\dots ⟩=n_i|n_1\dots n_i\dots ⟩.$

Se deducen

$\{a_i,a_j^{†}\}={\delta }_{ij}ℐ$

donde el corchete es denominado anticonmutador y funciona como

$\{a_i,a_j^{†}\}=a_i{a}_j^{†}+a_j^{†}{a}_i$

$\{a_i,a_j\}=0=\{a_i^{†},a_j^{†}\}$

$a^{†}{a}^{†}+a^{†}{a}^{†}=0\Rightarrow a_i^2=0$

$(a^{†}{)}^2=0$

No podemos añadir dos fermiones en el mismo estado

$\to |n_1{n}_2\dots ⟩=(a_1^{†}{)}^{n_1}(a_2^{†}{)}^{n_2}\dots |0⟩$

Oscilador armónico

Clásicamente: Partícula de masa m sometida a una fuerza recuperadora. En una dimensión

$H_{clas}=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2$

$\Rightarrow$ $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ $T=\frac{2\pi }{\omega }$ $\nu =\frac{\omega }{2\pi }$

${\omega }^{2}m=k$

Cuánticamente:

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

$[X,P]=i\hslash$

¿Qué hicimos el año pasado?

$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X+i\sqrt{\frac{1}{2\hslash m\omega }}P$

$a^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}X-i\sqrt{\frac{1}{2\hslash m\omega }}P$

$[a,a^{†}]=\dots =ℐ([X,P]=i\hslash )$

que son los operadores creación y aniquilación.

$|0⟩$ vacío, $a|0⟩=0$

$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

$N=a^{†}aN|n⟩=n|n⟩$

$N=\frac{m\omega }{2\hslash }{X}^2+\frac{i}{2\hslash }XP-\frac{i}{2\hslash }PX+\frac{1}{2m\omega \hslash }{P}^2$

$=\frac{1}{\omega \hslash }\stackrel{H}{\overbrace{(\frac{1}{2m}{P}^2+\frac{m{\omega }^2}{2}{X}^2)}}-\frac{1}{2}$

$H=\omega \hslash (a^{†}a+\frac{1}{2})$

$H|n⟩=\omega \hslash (n+\frac{1}{2})|n⟩$

donde $|n⟩$ es el nivel energético del oscilador.

$H|0⟩=\frac{1}{2}\hslash \omega$

¡Es distinto de 0! ¡Clásicamente no debería tener energia!