Mecánica cuántica/Inversión temporal

La inversión temporal $\mathrm{\Theta }$ (theta mayúscula) es una transformación que invierte el sentido de la evolución temporal. Clásicamente, si una partícula sigue una trayectoria, la inversión temporal mantiene la mismas trayectorias pero las recorre en sentido inverso.

Si $H$ es invariante frente al cambio $t\to -t$, $\mathrm{\Theta }$ es una simetría y las nuevas trayectorias son dinámicamente equivalentes (reversibles). A nivel microscópico todas las trayectorias son reversibles.

Cuánticamente el operador $\mathrm{\Theta }$ debe cambiar el signo del valor esperado de $\overrightarrow{P}$ y de $\overrightarrow{J}$ y dejar igual el de $\overrightarrow{x}$

$\mathrm{\Theta }|\overrightarrow{x}⟩\propto |\overrightarrow{x}⟩$

$\mathrm{\Theta }|\overrightarrow{p}⟩\propto |-\overrightarrow{p}⟩$

$\mathrm{\Theta }|jm⟩\propto |j-m⟩$

• $\mathrm{\Theta }$ debe ser un operador antiunitario.

$|\alpha ⟩\stackrel{\delta t}{\to }|\alpha (\delta t)⟩=(ℐ-\frac{i}{\hslash }\delta tH)|\alpha ⟩$

$\begin{array}{cc}|\alpha ⟩\stackrel{\mathrm{\Theta }}{\to }|\tilde{\alpha }⟩& =\mathrm{\Theta }|\alpha ⟩\stackrel{\delta t}{\to }\underset{\mathrm{\Theta }|\alpha (-\delta t)⟩=\mathrm{\Theta }(ℐ-i\hslash (-\delta t)H)|\alpha ⟩}{\underbrace{|\tilde{\alpha }(\delta t)⟩}}\\ & =(ℐ-\frac{i}{\hslash }\delta tH)|\tilde{\alpha }⟩\end{array}$

$-\frac{i}{\cancel{\hslash }}\delta tH\mathrm{\Theta }|\alpha ⟩=\mathrm{\Theta }\frac{i}{\cancel{\hslash }}\delta tH|\alpha ⟩$

Si $\mathrm{\Theta }$ fuera lineal

$-iH\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }iH=i\mathrm{\Theta }H$

$H\mathrm{\Theta }=-\mathrm{\Theta }H$

Tomamos un estado libre $H=\frac{p^2}{2m}$ de energía E (entre 0 e $infty$)

$H|E⟩=E|E⟩H(\mathrm{\Theta })|E⟩=\dots =-E\mathrm{\Theta }|E⟩$

El cual es un estado de ¡energía negativa! $\Rightarrow$ No puede ser.

• $\mathrm{\Theta }$ debe ser antiunitario $e^{-\frac{i}{\hslash }tH}$ $\Rightarrow$ $\mathrm{\Theta }$ es antilineal

$-iH\mathrm{\Theta }=\mathrm{\Theta }iH=-i\mathrm{\Theta }H\Rightarrow [H,\mathrm{\Theta }]=0$

$\mathrm{\Theta }c|\alpha ⟩=c^{*}\mathrm{\Theta }|\alpha ⟩$

$\mathrm{\Theta }=UK$

donde U es unitario y K es operador que conjuga con los nos. componentes

$\mathrm{\Theta },{\mathrm{\Theta }}^{-1}$

$\theta |\alpha ⟩=|\tilde{\alpha }⟩$ $|\alpha ⟩={\mathrm{\Theta }}^{-1}|\tilde{\alpha }⟩$

$⟨\alpha |\beta ⟩=⟨\tilde{\beta }|\theta A^{-1}{\theta }^{-1}|\tilde{\alpha }⟩$

...

$\overrightarrow{X}:⟨\alpha |\overrightarrow{X}|\alpha ⟩=⟨\tilde{\alpha }|\overrightarrow{X}|\alpha ⟩$

$\mathrm{\Theta }\overrightarrow{X}=\overrightarrow{X}\theta$

Para P y para L es al revés, hay que añadir un signo negativo.

• ¿Cómo actúa $\theta$ sobre $\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$?

$|\mathrm{\Psi }⟩=\int d^{3}x|\overrightarrow{x}⟩⟨\overrightarrow{x}|\mathrm{\Psi }⟩$

...

$\mathrm{\Theta }|lm⟩=(-1{)}^m|l-m⟩$

$Y_l^m(\theta ,\phi )\stackrel{\theta }{\to }{Y}_l^{m*}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m{Y}_l^{-m}(\theta ,\phi )$

• ¿Cómo actúa $\mathrm{\Theta }$ sobre el espín?

$s=\frac{1}{2}$, $\mathrm{\Theta }$ cambia el signo del momento angular.

$\mathrm{\Theta }|+⟩=\eta |-⟩$

$\mathrm{\Theta },R_y(\pi )=e^{-\frac{i}{\hslash }\pi J_y}$

Voy a definir

$\mathrm{\Theta }=\eta e^{-\frac{i}{\hslash }\mathrm{\Pi }{S}_y}K,$

si elijo $\eta =i$

$\mathrm{\Theta }|jm⟩=i^{2m}|j-m⟩.$

Si

$j=l=0,1,2,\dots \mathrm{\Theta }|lm⟩=(-1{)}^m|l-m⟩$

$j=s=\frac{1}{2}\{\begin{array}{c}\mathrm{\Theta }|1/21/2⟩=i|1/2-1/2⟩\\ \mathrm{\Theta }|1/2-1/2⟩=i|1/2-1/2⟩\end{array}$

${\mathrm{\Theta }}^2|1/21/2⟩=|1/21/2⟩$