Mecánica cuántica/Representaciones del momento angular

${ℍ}^1=\{\begin{array}{c}\hslash \\ 0\\ -\hslash \end{array}$

${ℍ}^{1/2}=\{\begin{array}{c}\hslash \\ -\hslash \end{array}$

¿El momento angular puede tomar otros valores?

Queremos encontrar todas las matrices que pueden describir el momento angular en MC.

$\to$ Se define $J^2=J_1^2+\dots$. $[J^2,J_i]$ (podéis comprobarlo)

$\Rightarrow$ Puedo definir simultánente $J^2$ y $J_z$

$ℍ:\{|ab⟩\}$

$J^2|ab⟩=a|ab⟩$

$J_z|ab⟩=b|ab⟩$

$\to$ Es conveniente definir los operadores escalera

$J_{+}\equiv J_1+i{J}_2\text{(ascendente)}$

$J_{-}\equiv J_1-i{J}_2\text{(descendente)}$

Propiedades:

• $J_i^{†}=J_i\Rightarrow J_{+}^{†}=J_{-}$
• $[J_i,J_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{J}_k$
• $[J_{+},J_{-}]=2\hslash J_3$
• $[J_z,J_{\pm }]=\pm \hslash J_{\pm }$

La idea es construir una base tomando un primer vector y luego actuando con J+ y J-. Si el nuevo vector es independiente lo podremos incluir en la base y lo utilizaremos para seguir obteniendo nuevos vectores.

Vamos a demostrar que

• $J_{+}|ab⟩$ es propio de $J^2$ con el mismo valor propio que $|ab⟩$. $J^2{J}_{+}|ab⟩=([J^2,J_{+}]+J_{+}{J}^2)|ab⟩=J_{+}\underset{a|ab⟩}{\underbrace{J^2|ab⟩}}=a{J}_{+}|ab⟩$

Además

• $J_{+}|ab⟩$ es propio de $J_z$ $J_z{J}_{+}|ab⟩=\underset{\hslash J_{+}}{\underbrace{[J_z,J_{+}]}}+J_{+}{J}_z|ab⟩=\hslash J_{+}|ab⟩+J_{+}b|ab⟩=(\hslash +b)J_{+}|ab⟩$

He empezado por el vector $|ab⟩$ y aplicando $J_{+}$ y normalizando nos permite encontrar el vector $|ab+\hslash ⟩$, que es proporcional a $J_{+}|ab⟩$. Volvemos a aplicar $J_{+}$ para obtener $|ab+\hslash ⟩$, y así hasta que $J_{+}|a{b}_{\max }⟩=0$. Entonces $J_z|a{b}_{\max }⟩=b_{\max }|a{b}_{\max }⟩$.

$\to$ $J_{-}|ab⟩$ es vector propio de $J^2$ (v.p. a) y de $J_z$ (val. propio $b-\hslash$)

$\to$ Todos los vectores son propios de $J^2$ con valor propio $a$.

$\to$ $J^2=J_1^2+\dots =J_z^2+\hslash J_z+J_{+}{J}_{-}=J_z^2-\hslash J_z+J_{+}{J}_{-}$

$\to$ $a|a{b}_{\max }⟩=J^2|a{b}_{\max }⟩=(J_z^2+\hslash J_z+J_{-}{J}_{+})|a{b}_{\max }⟩=(b_{\max }^2+\hslash b_{\max }+0)|a{b}_{\max }⟩$

Redefinimos

• $b_{\max }\equiv \hslash j$

• $b_{\min }\equiv \hslash l$

• $\{|jj⟩,|j,j-1⟩,\dots ,|jm⟩,\dots ,|j,l⟩\}$

En particular

$J^2|jm⟩={\hslash }^{2}j(j+1)|jm⟩$

$J_z|jm⟩=m\hslash |jm⟩.$

Y ahora

$J^2|ab⟩=\left(b_{\max }\hslash b_{\max }\right)|a{b}_{\max }⟩={\hslash }^{2}j(j+1)\underset{=|jj⟩}{\underbrace{|a{b}_{\max }⟩}}$

$b_{\max }\equiv \hslash j{v}_{\min }\equiv \hslash lb\equiv \hslash m$

$J^2|jm⟩={\hslash }^{2}j(j+1)|jm⟩$

$J_z|jm⟩=\hslash m|jm⟩$

El módulo de $J_{-}|jl⟩=0$

$|J_{-}|jl⟩{|}^2=⟨jl|J_{-}^{†}{J}_{-}|jl⟩=⟨jl|\underset{J^2-J_z^2+\hslash J_z}{\underbrace{J_{+}{J}_{-}}}|jl⟩={\hslash }^2\left[\underset{l=-j}{\underbrace{j(j+1)-l^2+l}}\right]⟨jl|jl⟩$

La diferencia $j-(-j)=2j\equiv n\in {\mathbb{Z}}_{+}$ es el número de saltos que se han dado.

$j=\frac{n}{2},n=(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots )$

Es decir, $n$ es entero o semientero.

$\mathrm{\#}\text{ vect. base}=\text{ Dim }{ℍ}^j=1+n=2j+1$

${ℍ}^j:\{|jj⟩,|jj-1⟩,\dots |jm⟩,\dots |j-j⟩\}$

Hemos demostrado que

$J^2|jm⟩={\hslash }^{2}j(j+1)|jm⟩$

$J_z|jm⟩=\hslash m|jm⟩$

$J_{\pm }|jm⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|jm\pm 1⟩$

${ℍ}^{j=\frac{3}{2}}:\{|\frac{3}{2}\frac{3}{2}⟩,|\frac{3}{2}\frac{1}{2}⟩,|\frac{3}{2}-\frac{1}{2}⟩,|\frac{3}{2}-\frac{3}{2}⟩\}$

Y

$J_z(\dots )=\left(\begin{array}{cc}|\frac{3}{2}\frac{3}{2}⟩& \dots \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\frac{3}{2}\hslash & 0& & \\ 0& \frac{1}{2}\hslash & & \\ 0& 0& \ddots & \\ 0& 0& & \end{array}\right)$

$J_{+}+J_{-}=2J_x$

$J_{+}-J_{-}=2i{J}_y$

• Podríamos haber elegido una base de estados propios de $J^2$ y $J_x$ $J_z\to J_x$ $J_x\to J_y$ $J_y\to J_z,$

lo cual es equivalente a diagonalizar $J_x$.

• Hemos encontrado las representaciones "irreducibles" del momento angular, pero la suma de dos representaciones irreducibles también es una representación.

${ℍ}^{j_1}:2j_1+1J_i^{j_1}=\left(\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\right)$

${ℍ}^{j_2}:2j_2+1J_i^{j_2}=\left(\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\right)$

Si las dos matrices lo verifican, ésta más grande también verifica las relaciones de conmutación:

$J_i=\left(\begin{array}{cc}{J}_i^{j_1}& \\ & J_i^{j_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}⋮\\ ⋮\end{array}\right)$

$ℍ={ℍ}^{j_1}\oplus {ℍ}^{j_2}$

$\text{Dim }ℍ=(2j_1+1)+(2j_2+1)$

$ℍ\ni |\alpha ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|jm⟩+|j_{2}m⟩)$

Son vectores sin momento angular bien definido (al medir podría salir uno u otro).