Física/Vibraciones mecánicas/Vibraciones libres y forzadas. Resonancia

Oscilacion armónica libre

Decimos que una partícula está sometida a un potencial armónico unidimensional cuando este es de la forma:

$V=\frac{1}{2}k{x}^2$

O dicho de otro modo, cuando la fuerza a la que está sometido es del tipo:

$\overrightarrow{F}=-kx\hat{x}$

Si planteamos la ecuación del movimiento $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ tenemos que:

$-kx=m\frac{d^{2}x}{d{x}^2}$

La solución de la ecuación diferencial es por tanto:

$x(t)=C_1{e}^{i\omega t}+C_2{e}^{-i\omega t}$

Redefiniendo variables:

$x(t)=A\cdot sin(\omega t+\delta )$

siendo

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Oscilación armónica amortiguada

A continuación estudiaremos el caso de una partícula sometida a un potencial armónico y que sufre una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad.

La fuerza de rozamiento es de la forma:

${\overrightarrow{F}}_r=-b\frac{dx}{dt}$

La ecuación de movimiento queda por tanto:

$-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

La solución en este caso es:

$x(t)=e^{-\gamma t}(C_1{e}^{\sqrt{\mathrm{\Delta }t}}+C_2{e}^{-\sqrt{\mathrm{\Delta }t}})$

siendo

$\gamma =\frac{b}{2m}\mathrm{\Delta }={\gamma }^2-{\omega }^2\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

A continuación analizaremos el movimiento resultante en función del signo del anterior discriminante:

Oscilador con amortiguamiento débil

Suponiendo la condición de que $\mathrm{\Delta }<0$, definimos:

${\omega }^{\prime }=\sqrt{-\mathrm{\Delta }}=\sqrt{{\omega }^2-{\gamma }^2}$

En este caso la solución de la ecuación de movimiento toma la forma:

$x(t)=e^{-\gamma t}(C_1{e}^{i{\omega }^{\prime }t}+C_2{e}^{-i{\omega }^{\prime }t})$

Redefiniendo variables:

$x(t)=A\cdot e^{-\gamma t}\cdot sin({\omega }^{\prime }t+\delta )$

Por tanto, la solución es un movimiento oscilante en torno a la posición de equilibrio cuya amplitud disminuye a medida que transcurre el tiempo.